黎曼几何最大的应用领域是研究更一般的流形空间。流形是一个局部与欧几里德空间同胚的拓扑空间，可以用局部坐标系来描述。黎曼几何通过引入度量张量和联络的概念，使得我们能够在流形上定义内积、长度、曲率等几何量。流形空间包括各种各样的对象，比如高维空间、非线性空间以及广义相对论中描述时空的四维时空...

黎曼几何具有广泛的应用，尤其在物理学和相对论等领域中起着重要作用。黎曼几何帮助描述了宇宙的曲率和引力场，并为爱因斯坦广义相对论的发展提供理论基础。此外，黎曼几何还应用于计算机图形学、天体测量学、地理学等领域，对于研究物体形状、曲线路径和空间间隙的性质非常有用。

黎曼几何的一个重要特点是其曲率概念。曲率是一个衡量曲线弯曲程度的指标，通常用希腊字母κ表示。黎曼几何中的曲率不仅与曲线本身有关，还与坐标系的选择有关。换句话说，不同的坐标系可能会导致相同的曲率值。这种现象被称为“测地线理论”。黎曼几何的应用体现在广义相对论、黑洞研究、量子物理、弦理...

黎曼几何是研究非欧几何的分支，它在欧几里得几何的基础上，扩展了几何学的概念和方法，包括曲率、度量和拓扑等方面的研究。黎曼几何的数学工具来自于微积分、线性代数和拓扑学等领域，因此，学生在学习黎曼几何之前需要具备一定的数学基础知识。

黎曼几何从理论上证明了宇宙中高维空间的存在。科学家的下一步是找到更一致的证据。根据黎曼几何，我们实际上可以想象和理解三维空间中的高维空间，但如果我们真的想突破维度的边界，这是非常困难的。我相信，随着未来科学技术的发展，当人类文明进入一个新的阶段，我们才能真正理解四维空间。它似乎不存在，...

在黎曼几何中，一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。因此，在黎曼几何的球面体系中，平行线无法存在。

这种空间上的几何学应基于无限邻近两点(x1,x2,……xn)与(x1+dx1,……xn+dxn)之间的距离,用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即 , (gij)是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形,就是黎曼流形。 黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构,并且在同一流形上可以有许多...

黎曼指出：前两种情形分别对应于欧几里得几何学和罗巴切夫斯基几何学，而第三种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学。黎曼的这第三种几何就是用命题“过直线外一点所作任何直线都与该直线相交”代替第五公设作为前提，保留欧氏几何学的其他公理与公设，经过严密逻辑推理而建立起来的几何体系。这...

黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限...

简单的说,黎曼几何是微分几何的一个特殊情况.微分几何的研究对象是一般的微分流形,黎曼几何的研究对象是黎曼流形.黎曼流形是一种特殊的微分流形,要求流形上存在黎曼联络,一般的微分流形上则没有这样的要求.所以说,黎曼几何比微分几何的范围要窄,也相对简单一些.