法律分析：一、劳动合同到期没有及时续签合同怎么办

根据《劳动合同法》第十条的规定“建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。”劳动合同到期时间，即为该劳动合同的终止时间，用人单位继续与劳动者保持劳动关系的，应当重新签订书面劳动合同。

二、未续签劳动合同但劳动者继续工作是否认为原来的劳动合同持续有效呢?

根据最高人民法院《关于审理劳动争议案件适用法律若干问题的解释》(法释[2001]14号)第十六条的规定以及劳动和社会保障部办公厅《关于对事实劳动关系解除是否应该支付经济补偿金问题的复函》(劳社厅函[2001]249号)规定，劳动合同到期后，用人单位未与劳动者签订劳动合同，劳动者继续工作的，用人单位未提出异议，则用人单位与劳动者之间存在事实劳动关系，而不等于双方之前签订的书面劳动合同持续有效，也不等于用人单位与劳动者按照原劳动合同约定的期限续签了一个新的劳动合同，而是视为用人单位与劳动者以原劳动合同约定的条件建立了事实劳动关系。

三、若劳动合同到期，公司及劳动者都没有意识到，这个责任应该由谁承担呢?

根据《劳动合同法》第八十二条的规定“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”以及《劳动合同法实施条例》第六条、第七条的规定，若劳动合同到期后，用人单位与劳动者都未意识到续签劳动合同，则双方之间形成了事实劳动关系，用人单位应当按照《劳动合同法》的规定支付二倍工资。

四、劳动合同到期，不再续签劳动合同，公司应该怎么跟劳动者解除劳动合同，终止劳动关系呢?

根据《劳动合同法》第四十四条的规定“有下列情形之一的，劳动合同终止：(一)劳动合同期满的;……。”第四十六条的规定“有下列情形之一的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿：…(五)除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订情形外的，依照本法第四十四条第一项规定终止固定期限劳动合同的;…。”第五十条的规定“用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转系手续。劳动者应当按照双方约定，办理工作交接。用人单位依照本法规定应当向劳动者支付经济补偿的，在办理工作交接时支付。用人单位对已经解除或者终止的劳动合同的文本，至少保存二年备查。”可知，劳动合同到期，不再续签劳动合同，用人单位与劳动者终止劳动合同，解除劳动关系，须要做到：

第一，告知劳动者劳动合同到期，不与其续签劳动合同;

第二，向劳动者出具终止劳动合同的证明，载明终止日期、工作岗位、在本单位的工作年限;

第三，在十五日内为劳动者办理相应的档案、社保关系转移手续;

第四，向劳动者支付相应的经济补偿金。

毕竟单位与劳动者之间的劳动关系还存在，而此时因为没有按照《劳动合同法》中的规定及时签订劳动合同，单位要向劳动者支付二倍工资，但此时二倍工资的支付最长也是不能超过11个月。

法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》

第八十二条用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。

用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。