双曲线的焦半径及其应用：定义为双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，称为双曲线的焦半径。焦半径公式通过双曲线的第二定义推导，设双曲线为 \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，左右焦点分别为\(F_1\)、\(F_2\)。利用第二定义得到，对于焦点在x轴上的双曲线，焦半径公式为\(|MF_1|=a+ex, |MF_2|=a-ex\)。同样地，对于焦点在y轴上的双曲线，焦半径公式为\(|MF_1|=a+ey, |MF_2|=a-ey\)。其中\(e\)为离心率，\(x, y\)为双曲线上点M的坐标。
值得注意的是，双曲线的焦半径公式与椭圆的焦半径公式的一个关键区别在于带绝对值符号。若要去绝对值，则需对点M的位置进行具体分析。上述两种形式的区别可以简单记忆为“左加右减，上减下加”。在椭圆情形下，焦半径公式分别为\(|PF_1|=a+ex_0, |PF_2|=a-ex_0\)。若焦点在x轴上，椭圆的左、右焦半径分别为\(|PF_1|=a+ex_0, |PF_2|=a-ex_0\)。若焦点在y轴上，椭圆的下、上焦半径分别为\(|PF_1|=a+ey_0, |PF_2|=a-ey_0\)。
在求解焦点弦长时，焦半径公式具有重要应用。例如，若需计算椭圆上一点P(x0，y0)与焦点F连结的线段PF的长度，可利用椭圆的第二定义直接计算，得到PF的长度为\(a+ex_0\)或\(a-ex_0\)，具体取决于P点的位置。
通过上述公式推导，可以更好地理解和应用焦半径公式于实际问题中。焦半径公式的灵活运用有助于解决更多复杂问题，如双曲线与椭圆的综合应用、焦半径在几何证明中的重要性等。
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