设A为n阶实矩阵，要证明A是正交矩阵当且仅当对任意的n维向量α，β有(Aα,Aβ)=(α,β)。首先，定义内积为(α,β)=β^Tα，那么(Aα,Aβ)=β^TA^TAα。显然，当A是正交阵时，(Aα,Aβ)=(α,β)。
反过来，令M=A^TA，M是一个对称阵。取α=β=e_i，这里e_i是单位阵的第i列，可以得到M(i,i)=1。对于i≠j，取α=e_i，β=e_j，可以得到M(i,j)=0，因此M=I。
为了进一步证明，我们考虑M的性质。由于M是正交矩阵A的转置矩阵与自身相乘得到的，M必然是对称阵。根据M的性质，当M(i,i)=1且M(i,j)=0(i≠j)时，可以推断出A是正交矩阵。
综上所述，A是正交矩阵当且仅当对任意的n维向量α，β有(Aα,Aβ)=(α,β)。
通过这个证明，我们可以看到，正交矩阵的定义不仅可以通过其元素来判断，还可以通过其与向量内积的关系来验证。正交矩阵的一个关键特性是保持向量内积不变，这对于保持向量间的几何关系至关重要。
正交矩阵在几何变换中有着广泛的应用，例如在坐标变换、旋转矩阵、对称矩阵的对角化等领域。它能够保持空间中向量的长度不变，同时保持向量间的夹角不变，这对于保持图形的形状和大小至关重要。
此外，正交矩阵还具有良好的性质，如行列式值为±1，逆矩阵即为其转置矩阵等。这些性质使得正交矩阵在数值计算和理论分析中具有重要地位。
总之，通过对任意n维向量α，β有(Aα,Aβ)=(α,β)的证明，我们不仅验证了正交矩阵的性质，还加深了对正交矩阵的理解，为后续的数学研究和应用提供了有力支持。
下载本文
