急求 多面体欧拉公式的发现?欧拉怎么发现欧拉公式的
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发布时间：2022-05-14 17:58
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时间：2023-10-18 15:38
尝欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假 设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那么
F-E+V=2。试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。
证明 ：
（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。
（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。
（3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。
（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。
（5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。
（6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。
（7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。
（8）如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。
即F′-E′+V′=1
成立，于是欧拉公式：
F-E+V=2
得证。
参考资料：http://www.bioon.com/popular/Class405/math/200508/154803.html
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时间：2023-10-18 15:39
这网站上有这个论文可以下载 你可以看看有没有用
http://dlib.cnki.net/kns50/detail.aspx?filename=ZXSS200201017&dbname=CJFD2002&filetitle=%e6%ac%a7%e6%8b%89%e6%98%af%e5%a6%82%e4%bd%95%e5%8f%91%e7%8e%b0%e6%ac%a7%e6%8b%89%e5%85%ac%e5%bc%8fV-E%2bF%3d2%e7%9a%84%3f
热心网友
时间：2023-10-18 15:39
热心网友
时间：2023-10-18 15:40
V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。
发现历程：
经历了2000多年的思索与努力，“非欧几何”的产生的确是“数学中一步真正的进
展”，把已有的理论——欧几里得几何学，从更高、更深的角度去理解，而把那些陈旧
的思想——试图用其他公设、公理及定理来证明第五公设的一切做法“抛到一边”。
在中学数学课程中，还有一门叫“三角”。这门课程，主要讨论六个三角函数的相互关系及计算。人类对三角学的研究可以追溯到公元1～2世纪。当时的天文学研究，已经为三角学奠定了基础，例如已经有了类似于正弦及正弦的表等。经过了几百年的努力，到9～10世纪，三角函数的研究已系统化，到了13世纪，球面三角也基本完成。因此，现在中学学习的“三角学”，其内容基本上在千年前就形成了。
人们从更高、更深的角度来认识“三角学”，是由于复数的引入。人们对复数的思
考由来已久，例如对方程x2＋1=0的根的思考，但人们认真地将虚数=i引入数学则是16世
纪的事了。之后欧拉建立了著名的欧拉公式：eiθ=cosθ＋isinθ，使得三角学中的问题
都可以化归为复数来讨论，于是三角学中一大批问题得以轻松地解决。有了复数与欧拉
公式，使人们对三角学的已有理论的理解更为深刻，并可以把一些原始的、复杂的处理
三角学的方法与工 具“抛到一边”。
