点到直线的距离公式

发布网友 发布时间：2022-04-21 21:46

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懂视网 时间：2022-05-04 21:55

题目链接：http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1num=1348 题目的意思是：求一个点到线段的最短距离和最长距离。。 最长距离比较容易，就是求点到线段两个端点较长的那个距离就是ans。 最短距离就比较有意思了。。。 可能的情况就是点到线段的垂线的垂足

题目链接：http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1348

题目的意思是：求一个点到线段的最短距离和最长距离。。

最长距离比较容易，就是求点到线段两个端点较长的那个距离就是ans。

最短距离就比较有意思了。。。

可能的情况就是点到线段的垂线的垂足在线段内，还有就是垂足在线段外。。。

在线段内的话，那么应用叉积求面积+底面长度可以求得垂线长度也就是最短距离。。

如果在线段外的话，最短距离就是点到线段的两个端点的最小值。。

那么问题就来了。。怎么判断垂足在线段内还是在线段外的呢？？

详细见代码。 - - 。。。

Code：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const double eps = 1e-8;
const double pi = acos(-1);
//点
struct POINT
{
 double x, y;
 POINT(){ }
 POINT(double a, double b){
 x = a;
 y = b;
 }
};
//线段
struct Seg
{
 POINT a, b;
 Seg() { }
 Seg(POINT x, POINT y){
 a = x;
 b = y;
 }
};

//直线
struct Line
{
 POINT a, b;
 Line() {}
 Line(POINT x, POINT y){
 a = x;
 b = y;
 }
};

//叉乘
double cross(POINT o, POINT a, POINT b)
{
 return (a.x - o.x) * (b.y - o.y) - (b.x - o.x) * (a.y - o.y);
}

//求两点间的距离
double dis(POINT a, POINT b)
{
 return sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));
}
Seg s;
POINT p;
double L;
//点到直线的距离..
double PointToLine(POINT p, Line l)
{
 return fabs(cross(p, l.a, l.b)) / dis(l.a, l.b);
}
//线段到直线的距离..
double PointToSeg(POINT p, Seg s)
{
 POINT tmp = p;
 tmp.x += s.a.y - s.b.y;
 tmp.y += s.b.x - s.a.x;
 if(cross(s.a, p, tmp) * cross(s.b, p, tmp) >= 0){
 return min(dis(p, s.a), dis(p, s.b));
 }
 return PointToLine(p, Line(s.a, s.b));
}

void solve()
{
 double ans1 = PointToSeg(p, s), ans2 = max(dis(p, s.a), dis(p, s.b));
 printf("%.2lf
%.2lf
", ans1 > L ? ans1 - L : 0, ans2 > L ? ans2 - L : 0);
 return ;
}

int main()
{
// freopen("11.txt", "r", stdin);
 while(~scanf("%lf %lf %lf %lf", &s.a.x, &s.a.y, &s.b.x, &s.b.y)){
 scanf("%lf %lf %lf", &p.x, &p.y, &L);
 solve();
 }
 return 0;
}

--->

好吧，还需要好好的学习。。。

热心网友 时间：2022-05-04 19:03

点到直线的距离公式是：

设直线 L 的方程为Ax+By+C=0，点 P 的坐标为（x0,y0），则点 P 到直线 L 的距离为：

同理可知，当P（x0,y0），直线L的解析式为y=kx+b时，则点P到直线L的距离为：

考虑点(x0,y0,z0)与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有d=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l²+m²+n²)。

证明方法：

定义法证：根据定义，点P(x₀,y₀)到直线l：Ax+By+C=0的距离是点P到直线l的垂线段的长，设点P到直线的垂线为l'，垂足为Q，则l'的斜率为B/A则l'的解析式为y-y₀=(B/A)(x-x₀)把l和l'联立得l与l'的交点Q的坐标为((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))由两点间距离公式得：

PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2

+[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2

=[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2

+[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2

=[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2

+[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2

=A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

+B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)

所以PQ=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)，公式得证。

热心网友 时间：2022-05-04 20:21

直线Ax+By+C=0 坐标（Xo，Yo）那么这点到这直线的距离就为：

公式描述：

公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

拓展资料：

公式整理

一、总公式：

设直线 L 的方程为Ax+By+C=0，点 P 的坐标为（Xo，Yo），则点 P 到直线 L 的距离为：

考虑点(x0,y0,z0)与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有s=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l²+m²+n²)

d=√((x1-x0)²+(y1-y0)²+(z1-z0)²-s²)

二、引申公式：

公式①：设直线l1的方程为

 

；直线l2的方程为

则 2条平行线之间的间距：

公式②：设直线l1的方程为

 

；直线l2的方程为

则 2条直线的夹角

 

点到直线距离 百度百科

热心网友 时间：2022-05-04 21:56

PQ=|Ax₀+By₀+C|/√(A^2+B^2)

根据定义，点P(x₀,y₀)到直线l：Ax+By+C=0的距离是点P到直线l的垂线段的长，设点P到直线的垂线为l'，垂足为Q，则l'的斜率为B/A则l'的解析式为y-y₀=(B/A)(x-x₀)把l和l'联立得l与l'的交点Q的坐标为((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))由两点间距离公式得

PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2

+[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2

=[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2

+[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2

=[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2

+[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2

=A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

+B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)

所以PQ=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)，公式得证。

函数法

证：点P到直线上任意一点的距离的最小值就是点P到直线的距离。在上取任意点用两点的距离公式有，为了利用条件上式变形一下，配凑系数处理得：

当且仅当时取等号所以最小值就是

不等式法

证：点P到直线上任意一点Q的距离的最小值就是点P到直线的距离。由柯西不等式：

当且仅当时取等号所以最小值就是

转化法

证：设直线的倾斜角为过点P作PM∥轴交于M显然所以

易得∠MPQ=或∠MPQ=

在两种情况下都有所以

热心网友 时间：2022-05-05 00:04

直线Ax+By+C=0 坐标（Xo，Yo）那么这点到这直线的距离就为：

公式描述：

公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

热心网友 时间：2022-05-05 02:28

直线(一般式):Ax+By+C=0坐标(Xo，Yo)，，那么这点到这直线的距离就为:(AXo+BYo+C)的绝对值除以根号下(A的平方加上B的平方)

热心网友 时间：2022-05-05 05:10

直线Ax+By+C=0 坐标（Xo，Yo）那么这点到这直线的距离就为：

公式描述：

公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

扩展资料：

点到直线距离是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度。目标在于通过对点到直线距离公式的推导，提高学生对数形结合的认识，加深用“计算”来处理“图形”的意识。

一、总公式：

设直线 L 的方程为Ax+By+C=0，点 P 的坐标为（Xo，Yo），则点 P 到直线 L 的距离为：

考虑点(x0,y0,z0)与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有s=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l²+m²+n²)

d=√((x1-x0)²+(y1-y0)²+(z1-z0)²-s²)

二、引申公式：

公式①：设直线l1的方程为  ；直线l2的方程为 

则 2条平行线之间的间距： 

公式②：设直线l1的方程为  ；直线l2的方程为 

则 2条直线的夹角  

两点间距离公式常用于函数图形内求两点之间距离、求点的坐标的基本公式，是距离公式之一。两点间距离公式叙述了点和点之间距离的关系。

直线上两点间的距离公式：设直线  的方程为  ，点  ，  

为该线上任意两点，则这一公式即所谓圆锥曲线的弦长公式。若记  为直线AB的倾斜角，则同时，若已知直线公式和其中一个点，并且给定了距离，可以反求另一个点的坐标。

水平距离是指水平方向上的距离，也即没有高度差的距离。物理上是相对于地面作一平行线，分别过两点作垂线，垂足的距离就是水平距离。地理上，水平距离等高线就是在平面图纸上相邻等高线之间线与线之间的距离。

利用经纬仪测定两点间的水平距离和高差，传统的方法是利用望远镜的视距丝进行视距测量，此法误差大，计算公式又是一近似推导式，测量精度较低。用钢尺、水准仪直接量测水平距离和高差又费工费时，工作量大，尤其在地形复杂、障碍物多、起伏多变的地区，同样也会带来较大的误差。本文推出一种利用经纬仪测量竖直角、间接测算水平距离和高差的新方法，既提高精度，又提高功效，此方法称为“倾角法”。

热心网友 时间：2022-05-05 08:08

直线（一般式）：Ax＋By＋C＝0坐标（Xo，Yo），，那么这点到这直线的距离就为：（AXo＋BYo＋C）的绝对值除以根号下（A的平方加上B的平方

热心网友 时间：2022-05-05 11:22

设直线 L 的方程为Ax+By+C=0，
点 P 的坐标为（Xo，Yo），
则点 P 到直线 L 的距离为：
d=│AXo+BYo+C│ / √（A²+B²）。

热心网友 时间：2022-05-05 14:54

1、关系代词引导的定语从句

who, whom, that：这些词代替的先行词是人的名词或代词，在从句中所起作用如下：Is he the man who/that wants to see you?他就是想见你的人吗？（who/that在从句中作主语）

Whose 用来指人或物，(只用作定语, 若指物，它还可以同of which互换）, 例如：They rushed over to help the man whose car had broken down.那人车坏了，大家都跑过去帮忙。

which, that它们所代替的先行词是事物的名词或代词，在从句中可作主语、宾语等，例如：A prosperity which / that had never been seen before appears in the countryside.农村出现了前所未有的繁荣。（which / that在句中作宾语）

2、关系副词引导的定语从句：

when, where, why：相当于"介词+ which"结构，因此常常和"介词+ which"结构交替使用，例如：There are occasions when (on which) one must yield. 任何人都有不得不屈服的时候。

that代替关系副词：用于表示时间、地点、方式、理由的名词后取代when, where, why和"介词+ which"引导的定语从句，在口语中that常被省略，例如：His father died the year (that / when / in which) he was born. 他父亲在他出生那年逝世了。

3、判断关系代词与关系副词

方法一： 用关系代词，还是关系副词完全取决于从句中的谓语动词。及物动词后面无宾语，就必须要求用关系代词；而不及物动词则要求用关系副词。例如：This is the mountain village (which) I visited last year.

方法二： 准确判断先行词在定语从句中的成分(主、谓、宾、定、状)，也能正确选择出关系代词/关系副词.先行词在从句中作主、定、宾语时，应选择关系代词；先行词在从句中作状语时，应选 择关系副词。例如：Is this the museum which you visited a few days ago?

4、*性和非*性定语从句

*性定语从句是先行词不可缺少的部分，去掉它主句意思往往不明确。例如：This is the house which we bought last month. 这是我们上个月买的那幢房子

非*性定语从句是先行词的附加说明，去掉了也不会影响主句的意思，它与主句之间通常用逗号分开，例如：The house, which we bought last month, is very nice.这幢房子很漂亮，是我们上个月买的。

扩展资料：

用法的特定选择：

关系词

1、只用that不用which

1）当先行词是序数词或被序数词、最高级，关系词用that。

2）当先行词既有人又有物时，用that。

3）当先行词带有the only,the very,the same,the last,the one等词时，用that。

4）当主句中有who或which时，为避免重复用that。

5）当先行词为something，anything，nothing，none，no，little，much，all等不定代词时用that。

2、只用who不用that

1）如果先行词是those,they,all,persons,people,he,anyone,one时用who

2）当先行词指人并含有较长的后置定语从句或在被分割的定语从句中时。

3、只用which不用that

1）当主句先行词后有介词时，用which。例：This is the one of which I'm speaking。

2）非限定性定语从句，用which。

3) 描述句中一般用which。例：Beijing，which was China's capital for more than 800years。

4）those +复数名词之后，多用which .例：Shopkeeper want to keep a number of those goods which sell best。

5）先行词本身是that时，用which。

参考资料来源：百度百科-定语从句

热心网友 时间：2022-05-05 18:42

在平面直角坐标系XOY里，有两个不同的点A(x1,y1),B(x2,y2),那么AB两点间的距离是：

|AB|=[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]的算术平方根。

直线Ax+By+C=0 坐标（Xo，Yo）那么这点到这直线的距离就为：

公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。

扩展资料

1、二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。

2、一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。

3、y轴上的点，横坐标都为0。

4、x轴上的点，纵坐标都为0。

5、坐标轴上的点不属于任何象限。

6、一个关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为原坐标的相反数。反之同样成立。

7、一个关于原点对称的点横纵坐标均为原坐标相反数。

8、与x轴做轴对称变换时，x不变，y变为相反数。

9、与y轴做轴对称变换时，y不变，x变为相反数。

热心网友 时间：2022-05-05 22:46

Ax＋By＋C＝0坐标（Xo，Yo），，那么这点到这直线的距离就为：
│AXo＋BYo＋C│／√（A²＋B²）

热心网友 时间：2022-05-06 03:08

│AXo+BYo+C│/√(A²+B²)。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。直线Ax+By+C=0 坐标(Xo，Yo)那么这点到这直线的距离就为:│AXo+BYo+C│/√(A²+B²)。

从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。而这条垂线段的距离是任何点到直线中最短的距离。直线Ax+By+C=0 坐标（Xo，Yo）那么这点到这直线的距离就为：│AXo+BYo+C│/√（A²+B²）。

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

点到直线的距离叫做垂线段。

扩展资料

1. 数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质;另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

2. 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关:

(1)实数与数轴上的点的对应关系。

(2)函数与图象的对应关系。

(3)曲线与方程的对应关系。

(4)以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等。

(5)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式 。

3. 纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究"以形助数"。

4. 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。

5、数形结合思想的论文

数形结合思想简而言之就是把数学中"数"和数学中"形"结合起来解决数学问题的一种数学思想。数形结合具体地说就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过"数"与"形"之间的对应和转换来解决数学问题。

在中学数学的解题中，主要有三种类型:以"数"化"形"、以"形"变"数"和"数""形"结合。

参考资料：点到直线距离的百度百科

热心网友 时间：2022-05-06 07:46

P(x0,y0)点到直线Ax+By+C=0的距离公式为：
d=[Ax0+By0+C的绝对值]/[(A^2+B^2)的算术平方根]。

如求点P（-1，2）到直线2X+Y-10=0的距离：
X0=-1，Y0=2，A=2，B=1，C=-10代入公式，
d=[2*(-1)+1*2-10的绝对值]/根号[2*2+1*1]=10/根号5

热心网友 时间：2022-05-06 12:40

直线Ax+By+C=0 坐标P（Xo，Yo）那么这P点到这直线的距离就为：

d=│AXo+BYo+C│/√(A²+B²)。

从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。而这条垂线段的距离是任何点到直线中最短的距离。.。

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

扩展资料

一、点线距离求法：

1、距离公式

2、在三角形中求

3、转化为向量的摸长问题.
二、点面距离有:

1、直接法(即找出点面距离,在三角形中求),

2、体积转换法,

3、向量法,

4、转化法(即转化为点线距离,线线距离,线面距离,面面距离)

三、平面点到直线距离 ：

点(x0, y0)，直线：A*x+B*y+C=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C|/√(A*A+B*B)

四、空间点到平面距离 ：

点(x0, y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)

参考资料

参考资料：点到直线距离-百度百科