数列 错位相减法的通常解法 高分!!考试复习用
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发布时间：2022-05-13 16:44
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热心网友
时间：2023-10-16 16:27
形如An=BnCn，其中{Bn}为等差数列，{Cn}为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比q，即q·Sn；然后错开一位，两个式子相减。这种数列求和方法叫做错位相减法。
热心网友
时间：2023-10-16 16:27
a1＝3,q＝2,求Sn.
Sn＝3＋3×2＋3×2²＋3×2³＋........＋3×2^(n-1),①
qSn＝2Sn＝3×2＋3×2²＋3×2³＋........＋ 3×2^n ＋3×2^(n+1),②
∴ ②－① qSn－Sn＝3×2^(n+1)－3,
∴ (q-1)Sn＝3×2^(n+1)－3,
我们注意到②－①的过程中，有两队人马自相残杀了n-1组。
这就是“错位相减”。然后，我们再分情况q=1,与q≠1来讨论。就求出了前n项和公式。追问分情况的q呢？
追答q=1时，这个等比数列就是“常数列”3,3,3,3，，，，，，，，3.
q≠1时，把q-1除过去，就得到了Sn公式（显然，分母总不能为0吧）。
热心网友
时间：2023-10-16 16:28
形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。
例如，求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）
当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)＝n^2；
当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；
∴xSn=x+3x²+5x³+7x^4+…+(2n-1)*x^n；
两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x²+x³+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n；
化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2
Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
两边同时乘以1/2
1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）
两式相减
1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
Sn=1-1/2^n
错位相减法是求和的一种解题方法。在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。这是例子（格式问题，在a后面的数字和n都是指数形式）：
S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1）
在（1）的左右两边同时乘上a。 得到等式（2）如下：
aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2）
用（1）—（2），得到等式（3）如下：
（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3）
（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式。
（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了。
例子:求和Sn=3x+5x²+7x³+……..+(2n-1)·x的n-1次方（x不等于0）
解：当x=1时，Sn=1+3+5+…..+(2n－1)＝n²;
当x不等于1时，Sn=3x+5x²+7x³;+……..+(2n-1)·x的n-1次方
所以xSn=x+3x²+5x³+7x四次方……..+(2n-1)·x的n次方
所以两式相减的（1－x）Sn=1+2x(1+x+x²;＋x³;＋。。。。。+x的n-2次方)－（2n-1）·x的n次方。
化简得：Sn=(2n-1)·x的n+1次方 －（2n+1）·x的n次方＋（1＋x）/(1-x)平方
Cn=(2n+1)*2^n
Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n
2Sn= 3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)
两式相减得
-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1)
=6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1)
=6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和)
=(1-2n)*2^(n+1)-2
所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2
错位相减法
这个在求等比数列求和公式时就用了
Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
两边同时乘以1/2
1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）
两式相减
1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
Sn=1-1/2^n
