证明根号2是无理数

发布网友发布时间：2022-05-13 12:04

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热心网友时间：2023-07-31 09:13

假设根号2为有理数，那么必然可以表示为两个整数之比，即m/n
设m/n为最简分数，即m.n互质
因为m/n=2
所以(m/n)^2=m^2/n^2=2
m^2=2n^2
所以m^2为偶数，即m为偶数
不妨设m=2k
那么m^2=4k^2
所以n^2=m^2/2=2k^2
所以n^2为偶数，即n为偶数
所以m,n均为偶数，m/n必有公约数2，即m/n不是最简分数，与假设矛盾，所以根号2不能表示为两个整数m/n之比，所以不是有理数，即是无理数

热心网友时间：2023-07-31 09:13

20190821 数学04

热心网友时间：2023-07-31 09:14

反证法：
假设根号2为有理数,那么存在两个互质的正整数p,q,使得:
根号2=p/q
于是
p=(根号2)q
两边平方得
p^2=2q^2(“^”是几次方的意思）
由2q^2是偶数，可得p^2是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。
因此可设p=2s,代入上式，得：
4s^2=2q^2,
即
q^2=2s^2.
所以q也是偶数。这样，p,q都是偶数，不互质，这与假设p,q互质矛盾。
这个矛盾说明，根号2不能写成分数的形式，即根号2不是有理数。