费马数的证明
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发布时间：2022-04-24 04:26
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懂视网
时间：2022-04-24 08:47
已知如下的丢番图方程，求它所有的正整数解。
x? - 4y? = n
x和y是未知数，n是一个给定的常量。x,y的解集将使用如下的嵌套数组展示：
[[x1, y1], [x2, y2] ....]
下面是一些例子：
sol_equa(90005) --> [[45003, 22501], [9003, 4499], [981, 467], [309, 37]]
sol_equa(90002) --> []
咋们来看看怎么解决这个问题，先看这个等式的左边，x? - 4y?，你第一眼就有种感觉，它可以转化为(x - 2y) * (x + 2y)，当你想到这一步，就迈出了第一步。
因为等式右边的常量N，它有可能是一个很大的数，如果用穷举法，效率是很低的。
我们可以尝试分解这个常量，把它因式分解成两项。
比方说，N=24，分解成两项有如下的可能：
[1,24] , [2,12] , [3,8] , [4,6]
我们拿这些可能往式子上套：
x - 2y = 1
x + 2y = 24
--------------
x - 2y = 2
x + 2y = 12
......
这样就转化成了求二元一次方程。
最后，我们选取其中的正整数解即可。
function solequa(n) {
var result = [];
for(var a=1,b=n;a<=b;a++){
if(n % a == 0){
b = n / a;
var x = (a + b) / 2;
var y = (b - a) / 4;
if(parseInt(x) == x && parseInt(y) == y && x >=0 && y >= 0){
result.push([x,y]);
}
}
}
return result;
}
热心网友
时间：2022-04-24 05:55
你可以在下面这个网页中看到全部证明过程（英文）
http://cgd.best.vwh.net/home/flt/flt08.htm
以下是参考资料：
1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现 一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”毕竟费马没有写下证明，而他的其他猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。
对得多不同的 n，费马定理早被证明了。但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。
1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人。
1983年， Gerd Faltings 证明了 Mordell conjecture 从而得出当 n > 2 时（n为整数），不存在互质的 a，b，c 使得 an + bn = cn。
1986年，Gerhard Frey 提出了“epsilon 猜想”：若存在 a, b, c 使得an + bn = cn，即费马大定理是错的，则椭圆曲线
y2 = x(x-an)(x + bn)
会是谷山志村猜想的一个反例。Frey 的猜想随即被 Kenneth Ribet 证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及 molar forms 的密切关系。
1995年，怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山志村猜想，Frey 的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理。
怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了七年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中，专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间尝试补救，终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功。他们的证明刊在1995年的Annals of Mathematics之上。
费尔马大定理神秘的面纱终于在1995年揭开，被43岁的英国数学家怀尔斯(A.Wiles)一举证明。
你可以在下面这个网页中看到全部证明过程（英文）
http://cgd.best.vwh.net/home/flt/flt08.htm
以下是参考资料：
1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现 一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”毕竟费马没有写下证明，而他的其他猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。
对得多不同的 n，费马定理早被证明了。但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。
1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人。
1983年， Gerd Faltings 证明了 Mordell conjecture 从而得出当 n > 2 时（n为整数），不存在互质的 a，b，c 使得 an + bn = cn。
1986年，Gerhard Frey 提出了“epsilon 猜想”：若存在 a, b, c 使得an + bn = cn，即费马大定理是错的，则椭圆曲线
y2 = x(x-an)(x + bn)
会是谷山志村猜想的一个反例。Frey 的猜想随即被 Kenneth Ribet 证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及 molar forms 的密切关系。
1995年，怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山志村猜想，Frey 的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理。
怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了七年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中，专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间尝试补救，终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功。他们的证明刊在1995年的Annals of Mathematics之上。
热心网友
时间：2022-04-24 07:13
热心网友
时间：2022-04-24 08:48
X>5;X不<5
热心网友
时间：2022-04-24 10:39
对这一定理的研究，我国古代数学家作出了巨大的贡献。约在公元前100年成书的我国现存最古的一部数学典籍《周髀算经》中记载，在公元前1100多年我国数学家商高与周公谈话中就明确提出了“勾广三，股修四，弦隅五”，且在同一书中记载的荣方与陈子的问答中，更谈到由勾股求弦的一般方法是“勾股各自乘，并而开方除之”，可见已给出了普遍的勾股定理。正因为商高首先提出了勾股定理，不少人把该定理称之为商高定理。
在商高定理的研究方面作出贡献的除中国古代数学家外，还有许多别的国家和民族的数学家，特别是古希腊、埃及、印度的数学家。公元前六世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯（公元前582年一前497年）是西方第一个证明勾股定理的人，国外常称其为毕达哥拉斯定理，相传当毕氏找到证明商高定理的方法后，欣喜若狂，杀了100头牛祭奉庆贺，故西方人亦称之为“百牛定理”，而毕氏的证明早已失传。古今中外有许多人探索商高定理的证明方法，不但有数学家，还有物理学家，甚至画家、*家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里德（希腊）、辛卜松（英）、加菲尔德（美第二十届总统）等等。其证明方法达数百种之多，这在数学史上是十分罕见的。
我国古代数学家商高发现了直角三角形勾、股、弦有3、4、5的关系，故人们称满足勾股弦的各组正整数为商高数。若以方程的观点来看，方程的正整数解称为商高数。商高数除3、4、5外，还有5，12，13；7，24，25；8，15，17；12，35，37；20，21，29等无穷多组。
求方程的整数解实际上是个不定方程问题。关于不定方程的研究我国最早，约在公元50年（东汉初年）成书的数学名著《九章算术》中出现了世界上最早的不定方程问题（“五家共井”问题），且该书给出了多组商高数。我国第三世纪数学家刘徽曾为《九章算术》作注（公元263年），明确给出了商高数的一般公式。古希腊数学家丢番图（公元246年一330年）研究了整系数不定方程的整数解
（这类问题被称为丢番图方程），以著作《算术》名世，记述了189个不定方程问题。不定方程的全部原始解（两两互素的解）的公式是
a=2mn,,。
其中m，n（m＞n）是互素的且一奇一偶的任意正整数。其实丢番图没有给出这个公式，中国的刘徽在《九章算术》注中用文字表述了这个公式，并作图加以证明（图已失传，图的说明传下来了），这也是我国古代数学家的一大成就。
相隔1400多年，约公元1637年，费马（公元1601—1665）在丢番图的校注本《算术》第2卷第8命题“把一个平方数分为两个平方数”旁的空白处，写了一段批语：“把一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或一般地，把一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的，关于这一点，我已发现了一种巧妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下”。费马，法国人，律师，业余钻研数学，很少发表作品，一些数学成果常写在给朋友的信中或所读书的空白处，由后人收集整理出版。费马去世后，他儿子在整理他的遗物时发现了这段话，并于1670年公布于众。这就是引起世人关注的费马大定理，可表述为“当整数n＞2时，方程 没有正整数解。”
从费马时代起，人们不断进行费马大定理的试证工作。巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金，布鲁塞尔科学院也悬赏重金，奖励证明该定理的人，但都无结果。1908年哥廷根皇家科学会悬赏十万马克，奖给最先证明这一定理的人，赏期100年。最初的证明是一个数一个数（或一部分数）的进行，但也不是那么简单的工作，不知多少人耗尽了无数心血，取得了一些成果。如高斯、欧拉、莱布尼茨、勒让德、狄里克雷、拉梅、库默尔等许多著名数学家都作出了突出的贡献。但都只是在某些特定条件下证明了这个定理，无疑离定理的证明还比较遥远。人们曾经在费马的遗稿、笔记、传抄本，甚至其它任何可能的地方，去寻找他的证明方法，但都落空了。这的确是个“谜”，人们不得不怀疑，费马是不是证明过这个定理，还
是在什么地方弄错了。
直接证明费马大定理的艰巨困境促使人们按数学解决问题的传统，就是要作变换，把问题转化为已知的或易于解决的领域的新问题去解决。近三个多世纪来，经过包括黎曼、莫德尔等许多数学家艰苦卓绝、前赴后续的工作，把费马大定理与代数曲线上的有理点（坐标都是有理数的点）联系起来。种种转化推动了数学相关领域的发展，也推动了费马大定理的证明进程。英国年轻的数学家维尔斯（A·WIles．1953一）利用19世纪以来研究并发展起来的椭圆函数理论及其研究成果，最终证明了费马大定理。1993年6月维尔斯长达200页的论文评审时，被发现其证明有漏洞，1993年7月他开始修改论文，补正漏洞，1994年9月维尔斯终于克服困难，重写了一篇108页的证明论文，10月寄往美国《数学年刊》，顺利通过审查，1995年5月《数学年刊》的41卷第3期上只登载了他的这一篇论文。维尔斯因此获得了国际上颇有影响的科学奖——1995／1996年度沃尔夫数学奖，这一成果被认为是“20世
纪最重大的数学成就”。
历时几千年的两个定理，牵动着世界上不知多少代亿万人们的心，前人以坚韧的毅力，开拓创新的精神谱写了科学知识宝库中探宝的光辉篇章，还有许多宝藏等待后人开采。自然无限，创造永恒。同学们要努力学习，提高自身素质，不辜负时代重托，将来为人类作出更大贡献。
参考文献
（1）王文方，施桂芬《数字小辞典》1983，科学技术文献出版社。
（2）高希尧《数海钩沉》1982，陕西科学技术出版社。
（3）王长烈，朱一鸣《世界数字名题趣题选》1988，湖南教育出版社。
（4）孙宏安《费马大定理及其证明》1997，6《数学通报》。
选自《中学生数学》2001年10月下
附录：费马小传
费马（Pierre de Fermat）是十七世纪最伟大的数学家之一，1601年8月20日生於法国南部土鲁士（Toulous）附近的一个小镇，父亲是一个皮革商，1665年1月12日逝世。
费马在大学时专攻法律，学成后成为专业的律师，也曾经当过土鲁士议会议员。
费马是一位博览群书见广多闻的谆谆学者，精通数国语言，对於数学及物理也有浓厚的兴趣，是一位多采多艺的人。虽然他在近三十岁才开始认真专研数学，但是他对数学的贡献使他赢得业余王子（the prince of amateurs）之美称。这个头衔正足以表彰他在数学领域的一级成就，他在笛卡儿（Descartes）之前引进解析几何，而且在微积分的发展上有重大的贡献，尤其为人称道的是费马和巴斯卡(Pascal)被公认是机率论的先驱。然而人们所津津乐道的则是他在数论上的一些杰作，例如费马定理（又称费马小定理，以别於费马最后定理）：apº a(modp)，对任意整数a及质数p均成立。这个定理第一次出现於1640年的一封信中，此定理的证明后来由欧拉（Euler）发表。费马为人非常谦虚、不尚名利，生前很少发表论文，他大部分的作品都见诸於与友人之间的信件和私人的札记，但通常都未附证明。最有名的就是俗称的费马最后定理，费马天生的直觉实在是异常敏锐，他所断言的其他定理，后来都陆续被人证出来。有先见之明的费马实在是数学史上的一大奇葩。
热心网友
时间：2022-04-24 12:47
