公理化思想的内涵是什么

发布网友 发布时间：2022-05-15 23:15

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热心网友 时间：2024-02-28 23:43

公理化方法是自然科学, 特别是数学的重要逻辑演绎工具。长期以来人们对公理化方法研究不止,存在不同的看法和争议,并由此而不断产生新的科学分支。因此, 公理化方法研究总是充满生机的。
数学公理化思想的内涵
数学公理化的目的, 就是把一门数学表述为一个演绎系统, 这个系统的出发点则是一组基本概念和若干基本命题, 基本概念必须是对数学实体的高度纯化和抽象, 而基本命题则是对基本概念相互关系的制约和规定。显然, 公理学也并非神学, 因为公理系统乃是数学家的自由创造, 是大量数学知识的理论概括, 是数学科学推理论证的出发点, 并非象神学那样极力排斥理性, 把一切依据统统归诸于《圣经》和神的意志。
对于公理学的结构, 可以分为三种, 即含内容的公理学、半形式化公理学和形式化公理学。这三种形式结构, 也就是它形式化发展的三个阶段, 即产生阶段, 完善阶段、形式化阶段。含内容的公理学的代表作《原本》, 它流传甚广, 以至于今天在“新数” 运动的尾声中, 世界各国的中学课本中的多数仍然受着它的传统影响。半形式化公理学的代表作是《几何学基础》, 正是因为如此, 才使得希尔伯特成为 现代数学中的公理方法的奠基人” 。 然而, 一个数学分支公理化的完成, 也并不意味着是它的最后终结, 而是促使这一分支进一步地向前发展, 自希尔伯特以后, 公理化方法己渗透到几乎所有的纯数学的领域。形式化公理学的代表作是希尔伯特1 9 0 4 年在海德堡召开的第三届国际数学会议上所提交的一篇关于大致描画证明论的论文, 其基本思想就是采用符号语言把一个数学理论的全部命题变成公式的集合, 然后证明这个公式的集合是无矛盾的。由于公理方法的进一步形式化, 不仅推动着数学基础的研究, 而且还推动着现代算*的研究, 并为数学应用于电子计算机等现代科学技术开辟了新的前景。 公理体系是由
（1） 基本概念（基本对象及基本关系）
（2）公理组
（3）定理及证明
构成的。基本概念和公理组构成的公理系统是公理体系的基础部份。一个公理体系是否“严格” 、“科学”,要看它是杏满足以下三个条件。
（1）相容性：即一个公理体系中不能既推出命题P, 又推出它的否定(非P)。
（2）独立性：在一个公理体系中被选作逻辑出发点的一组公理中任何一个,不能由其余公理推出, 即不能有多余的公理。
（3）完备性：即一个公理体系所含的全部真命题, 应毫无例外地在本体系中得到证明。 只有满足以上三条件的公理体系在逻辑上才是好的, 希尔伯特公理体系满足以上三条件。

热心网友 时间：2024-02-28 23:43

公理化方法是自然科学, 特别是数学的重要逻辑演绎工具。长期以来人们对公理化方法研究不止,存在不同的看法和争议,并由此而不断产生新的科学分支。

热心网友 时间：2024-02-28 23:44

谓公所理化方法（或公理方法），就是从尽可能少的无定义的原始概念（基本概念）和一组不证自明的命题（基本命题）出发，利用纯逻辑推理法则，把一门数学建立成为演绎系统的一种方法。所谓基本概念和公理，当然必须反映数学实体对象的最单纯的本质和客观关系，而并非人们自由意志的随意创造