向量a+b+c+d=0,求证|a|+|b|+|c|+|d| >=|a+d|+|b+d|+|c+d|
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发布时间：2022-05-16 12:35
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时间：2023-10-22 18:43
已知向量a+b+c+d=0,求证|a|+|b|+|c|+|d| >=|a+d|+|b+d|+|c+d|。
证明：
简单一点，设向量是平面向量而不是空间向量。如果是立体空间向量，我想证明方法是相似的。
已知向量a+b+c+d=0,
即 向量a，b，c，d组成了一个闭合四边形，向量d的末端与向量a的起点重合。
设向量a的起点坐标是（0，0），向量d的终点坐标也是（0，0）；向量a,b,c的终点坐标分别为（x1,y1）（x2,y2）（x3,y3).
|向量a|=√[x1)^2+(y1)^2],
|向量b|=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2],
|向量c|=√[(x3-x2)^2+(y3-y2)^2],
|向量d|=√[(0-x3)^2+(0-y3)^2]=√[(x3)^2+(y3)^2],
|a|+|b|+|c|+|d|=√[x1)^2+(y1)^2]+√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]+√[(x3-x2)^2+(y3-y2)^2]+√[(x3)^2+(y3)^2],
向量a+向量d=向量(向量a+向量d)，
把向量d的起点放到（0，0），则 其终点坐标即为：（-x3,-y3）,
其实，按照正常的矢量运算规则，也是一样的，
|向量a+d|=√[(x1-x3)^2+(y1-y3)^2]；
|b+d|=√[(x2-x1-x3)^2+(y2-y1-y3)^2],
|c+d|=√[(x3-x2-x3)^2+(y3-y2-y3)^2],
|a+d|+|b+d|+|c+d|=√[(x1-x3)^2+(y1-y3)^2]+√[(x2-x1-x3)^2+(y2-y1-y3)^2]+√[(x3-x2-x3)^2+(y3-y2-y3)^2],
现在，比较下面两者的大小：
|a|+|b|+|c|+|d|=√[（x1)^2+(y1)^2]+√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]+√[(x3-x2)^2+(y3-y2)^2]+√[(x3)^2+(y3)^2], 与
|a+d|+|b+d|+|c+d|=√[(x1-x3)^2+(y1-y3)^2]+√[(x2-x1-x3)^2+(y2-y1-y3)^2]+√[(x3-x2-x3)^2+(y3-y2-y3)^2],
因为 在x3≥0,y3≥0 情况下，
（x1)^2+(y1)^2 ≥ [(x1-x3)^2+(y1-y3)^2，
[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2 ≥ (x2-x1-x3)^2+(y2-y1-y3)^2,
[(x3-x2)^2+(y3-y2)^2 ≥ [(x3-x2-x3)^2+(y3-y2-y3)^2,
所以
√[（x1)^2+(y1)^2]+√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]+√[(x3-x2)^2+(y3-y2)^2]+√[(x3)^2+(y3)^2] ≥ √[(x1-x3)^2+(y1-y3)^2]+√[(x2-x1-x3)^2+(y2-y1-y3)^2]+√[(x3-x2-x3)^2+(y3-y2-y3)^2],
所以
|a|+|b|+|c|+|d| ≥ |a+d|+|b+d|+|c+d|。
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时间：2023-10-22 18:43
1感遇之一：（张九龄）
兰叶春葳蕤，桂华秋皎洁。
欣欣此生意，自尔为佳节。
谁知林栖者，闻风坐相悦。
草木有本心，何求美人折？
2感遇之二：（张九龄）
江南有丹橘，经冬犹绿林。
岂伊地气暖，自有岁寒心。
可以荐嘉客，奈何阻重深！
运命惟所遇，循环不可寻。
徒言树桃李，此木岂无阴？
3下终南山过斛斯山人宿置酒：（李白）
暮从碧山下，山月随人归，
却顾所来径，苍苍横翠微。
相携及田家，童稚开荆扉。
绿竹入幽径，青萝拂行衣。
欢言得所憩，美酒聊共挥。
长歌吟松风，曲尽河星稀。
我醉君复乐，陶然共忘机。
4月下独酌：（李白）
花间一壶酒，独酌无相亲。
举杯邀明月，对影成三人。
月既不解饮，影徒随我身。
暂伴月将影，行乐须及春。
我歌月徘徊，我舞影零乱。
醒时同交欢，醉后各分散。
永结无情游，相期邈云汉。
5望岳：（杜甫）
岱宗夫如何，齐鲁青未了。
造化钟神秀，阴阳割昏晓。
荡胸生层云，决眦入归鸟，
会当凌绝顶，一览众山小。
6春思：（李白）
燕草如碧丝，秦桑低绿枝。
当君怀归日，是妾断肠时。
春风不相识，何事入罗帏？
7溪居：（柳宗元）
久为簪组累，幸此南夷谪。
闲依农圃邻，偶似山林客。
晓耕翻露草，夜榜响溪石。
来往不逢人，长歌楚天碧。
8东郊：（韦应物）
吏舍局终年，出郊旷清曙。
杨柳散和风，青山澹吾虑。
依丛适自憩，缘涧还复去。
微雨霭芳原，春鸠鸣何处？
乐幽心屡止，遵事迹犹遽。
终罢斯结庐，慕陶真可庶。
9夕次盱眙县：（韦应物）
落帆逗淮镇，停舫临孤驿。
浩浩风起波，冥冥日沈夕。
人归山郭暗，雁下芦洲白。
独夜忆秦关，听钟未眠客。
10长安遇冯著：（韦应物）
客从东方来，衣上灞陵雨。
问客何为来，采山因买斧。
冥冥花正开，扬扬燕新乳。
昨别今已春，鬓丝生几缕。
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时间：2023-10-22 18:44
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时间：2023-10-22 18:45
