已知向量组a1a2a3线性无关,向量组β1=α1+2α2,β2=-α1+α2-3α3?

发布网友 发布时间：2023-11-04 06:43

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热心网友 时间：2024-12-12 02:53

为了证明向量组$\beta_1, \beta_2, \beta_3$线性相关，我们需要找到一组不全为零的系数$c_1, c_2, c_3$，使得$c_1\beta_1 + c_2\beta_2 + c_3\beta_3 = 0$。

首先，我们可以用$\beta_1$和$\beta_2$表示$\alpha_1$和$\alpha_2$，即

$$\alpha_1 = \frac{1}{2}\beta_1 - \frac{1}{2}\beta_2, \quad \alpha_2 = \frac{1}{2}\beta_1 + \frac{1}{2}\beta_2$$

然后，我们可以将$\beta_3$表示为$\alpha_1$和$\alpha_3$的线性组合，即

$$\beta_3 = 3\alpha_1 + 6\alpha_3 = \frac{3}{2}\beta_1 - \frac{3}{2}\beta_2 + 9\alpha_3$$

现在，我们可以将$c_1\beta_1 + c_2\beta_2 + c_3\beta_3$表示为$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的线性组合：

$$c_1\beta_1 + c_2\beta_2 + c_3\beta_3 = c_1\left(\frac{1}{2}\beta_1 - \frac{1}{2}\beta_2\right) + c_2\left(\frac{1}{2}\beta_1 + \frac{1}{2}\beta_2\right) + c_3\left(\frac{3}{2}\beta_1 - \frac{3}{2}\beta_2 + 9\alpha_3\right)$$

$$= \frac{1}{2}(c_1 + c_2 + \frac{3}{2}c_3)\beta_1 - \frac{1}{2}(c_1 - c_2 - \frac{3}{2}c_3)\beta_2 + 9c_3\alpha_3$$

因此，如果我们令$c_1 + c_2 + \frac{3}{2}c_3 = 0$和$c_1 - c_2 - \frac{3}{2}c_3 = 0$，则$c_1\beta_1 + c_2\beta_2 + c_3\beta_3 = 0$。这等价于解以下线性方程组：

线性方程式

解得$c_1 = \frac{3}{4}c_3$和$c_2 = -\frac{3}{4}c_3$。因此，我们可以选择$c_3$为任意非零常数，例如$c_3 = 1$，得到

$$c_1 = \frac{3}{4}, \quad c_2 = -\frac{3}{4}, \quad c_3 = 1$$

这样，我们就找到了一组不全为零的系数$c_1, c_2, c_3$，使得$c_1\beta_1 + c_2\beta_2 + c_3\beta_3 = 0$，因此向量组$\beta_1, \beta_2, \beta_3$线性相关。

可以看出，我们的证明基于以下两个事实：

$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$是线性无关的，因此，我们可以用$\beta_1$和$\beta_2$表示$\alpha_1$和$\alpha_2$，然后将$\beta_3$表示为$\alpha_1$和$\alpha_3$的线性组合。

我们可以找到一组不全为零的系数$c_1, c_2, c_3$，使得$c_1\beta_1 + c_2\beta_2 + c_3\beta_3 = 0$。这是通过将$c_1\beta_1 + c_2\beta_2 + c_3\beta_3$表示为$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的线性组合，并解出$c_1, c_2, c_3$的值得到的。

因此，向量组$\beta_1, \beta_2, \beta_3$线性相关，证毕。

热心网友 时间：2024-12-12 02:53

热心网友 时间：2024-12-12 02:54