怎么判断线性微分方程啊?
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发布时间：2022-04-29 17:27
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时间：2023-10-23 16:15
其中微分算子L是线性算子，y是一个未知的函数，等式的右面f是一个给定的函数。
把楼主的
y''sinx-y'e^x=ylnx
写成算子形式，就是：
y' -> d/dx (y) d/dx 就是所谓的算子
y'' -> d^2/(dx)^2 (y) 这里求导两次也是算子
ylnx -> lnx*(y) 这里（lnx乘以）也是算子
在微分方程中，常见的算子，不外乎以上几种，乘除（乘性算子）、求导（微分算子）、积分（积分算子）等等。。。
最终结果就是：（这里，用D来简化d/dx，DD就是求两次导）
{sinx*DD - e^x*D - lnx} (y) = 0
以上大括号部分就是算子形式的L，等号右边的0就是我们的f。如果是0，也就是所谓的齐次方程，否则成为非齐次。
为什么说L是线性呢？
我们作用在a*y1+b*y2上，以检验算子的线性性
这里y1、y2认为是两个可能的解，如果是线性的话，那么解经过线性叠加也是解。
L(a*y1+b*y2) = {sinx*DD - e^x*D - lnx} (a*y1+b*y2) L里面每个都搞进去
=sinx*DD (a*y1+b*y2) - e^x*D(a*y1+b*y2) - lnx (a*y1+b*y2)
因为求导和乘法满足线性
=a*sinx*DD(y1) + b*sinx*DD(y2) - a*e^x*D(y1) - b*e^x*D(y2) - a*lnx*y1 - b*lnx*y2
重新整理一下
=a*L(y1) + b*L(y2)
正好L满足线性性
L(a*y1+b*y2) = a*L(y1) + b*L(y2)
So，这个方程就是线性方程啦！
PS：方程是否线性，用处和判断标准也在于：如果我已经找到了n个解，这n个解的线性组合是不是仍然是解。这对于寻找解是在很方便，而通解也相对容易找到（因为可以通过线性组合的方法来找出所有解）。
参考资料：http://ke.baidu.com/view/2160788.htm
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其中微分算子L是线性算子，y是一个未知的函数，等式的右面f是一个给定的函数。
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y''sinx-y'e^x=ylnx
写成算子形式，就是：
y' -> d/dx (y) d/dx 就是所谓的算子
y'' -> d^2/(dx)^2 (y) 这里求导两次也是算子
ylnx -> lnx*(y) 这里（lnx乘以）也是算子
在微分方程中，常见的算子，不外乎以上几种，乘除（乘性算子）、求导（微分算子）、积分（积分算子）等等。。。
最终结果就是：（这里，用D来简化d/dx，DD就是求两次导）
{sinx*DD - e^x*D - lnx} (y) = 0
以上大括号部分就是算子形式的L，等号右边的0就是我们的f。如果是0，也就是所谓的齐次方程，否则成为非齐次。
为什么说L是线性呢？
我们作用在a*y1+b*y2上，以检验算子的线性性
这里y1、y2认为是两个可能的解，如果是线性的话，那么解经过线性叠加也是解。
L(a*y1+b*y2) = {sinx*DD - e^x*D - lnx} (a*y1+b*y2) L里面每个都搞进去
=sinx*DD (a*y1+b*y2) - e^x*D(a*y1+b*y2) - lnx (a*y1+b*y2)
因为求导和乘法满足线性
=a*sinx*DD(y1) + b*sinx*DD(y2) - a*e^x*D(y1) - b*e^x*D(y2) - a*lnx*y1 - b*lnx*y2
重新整理一下
=a*L(y1) + b*L(y2)
正好L满足线性性
L(a*y1+b*y2) = a*L(y1) + b*L(y2)
So，这个方程就是线性方程啦！
PS：方程是否线性，用处和判断标准也在于：如果我已经找到了n个解，这n个解的线性组合是不是仍然是解。这对于寻找解是在很方便，而通解也相对容易找到（因为可以通过线性组合的方法来找出所有解）。
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其中微分算子L是线性算子，y是一个未知的函数，等式的右面f是一个给定的函数。
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写成算子形式，就是：
y' -> d/dx (y) d/dx 就是所谓的算子
y'' -> d^2/(dx)^2 (y) 这里求导两次也是算子
ylnx -> lnx*(y) 这里（lnx乘以）也是算子
在微分方程中，常见的算子，不外乎以上几种，乘除（乘性算子）、求导（微分算子）、积分（积分算子）等等。。。
最终结果就是：（这里，用D来简化d/dx，DD就是求两次导）
{sinx*DD - e^x*D - lnx} (y) = 0
以上大括号部分就是算子形式的L，等号右边的0就是我们的f。如果是0，也就是所谓的齐次方程，否则成为非齐次。
为什么说L是线性呢？
我们作用在a*y1+b*y2上，以检验算子的线性性
这里y1、y2认为是两个可能的解，如果是线性的话，那么解经过线性叠加也是解。
L(a*y1+b*y2) = {sinx*DD - e^x*D - lnx} (a*y1+b*y2) L里面每个都搞进去
=sinx*DD (a*y1+b*y2) - e^x*D(a*y1+b*y2) - lnx (a*y1+b*y2)
因为求导和乘法满足线性
=a*sinx*DD(y1) + b*sinx*DD(y2) - a*e^x*D(y1) - b*e^x*D(y2) - a*lnx*y1 - b*lnx*y2
重新整理一下
=a*L(y1) + b*L(y2)
正好L满足线性性
L(a*y1+b*y2) = a*L(y1) + b*L(y2)
So，这个方程就是线性方程啦！
PS：方程是否线性，用处和判断标准也在于：如果我已经找到了n个解，这n个解的线性组合是不是仍然是解。这对于寻找解是在很方便，而通解也相对容易找到（因为可以通过线性组合的方法来找出所有解）。
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写成算子形式，就是：
y' -> d/dx (y) d/dx 就是所谓的算子
y'' -> d^2/(dx)^2 (y) 这里求导两次也是算子
ylnx -> lnx*(y) 这里（lnx乘以）也是算子
在微分方程中，常见的算子，不外乎以上几种，乘除（乘性算子）、求导（微分算子）、积分（积分算子）等等。。。
最终结果就是：（这里，用D来简化d/dx，DD就是求两次导）
{sinx*DD - e^x*D - lnx} (y) = 0
以上大括号部分就是算子形式的L，等号右边的0就是我们的f。如果是0，也就是所谓的齐次方程，否则成为非齐次。
为什么说L是线性呢？
我们作用在a*y1+b*y2上，以检验算子的线性性
这里y1、y2认为是两个可能的解，如果是线性的话，那么解经过线性叠加也是解。
L(a*y1+b*y2) = {sinx*DD - e^x*D - lnx} (a*y1+b*y2) L里面每个都搞进去
=sinx*DD (a*y1+b*y2) - e^x*D(a*y1+b*y2) - lnx (a*y1+b*y2)
因为求导和乘法满足线性
=a*sinx*DD(y1) + b*sinx*DD(y2) - a*e^x*D(y1) - b*e^x*D(y2) - a*lnx*y1 - b*lnx*y2
重新整理一下
=a*L(y1) + b*L(y2)
正好L满足线性性
L(a*y1+b*y2) = a*L(y1) + b*L(y2)
So，这个方程就是线性方程啦！
PS：方程是否线性，用处和判断标准也在于：如果我已经找到了n个解，这n个解的线性组合是不是仍然是解。这对于寻找解是在很方便，而通解也相对容易找到（因为可以通过线性组合的方法来找出所有解）。
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写成算子形式，就是：
y' -> d/dx (y) d/dx 就是所谓的算子
y'' -> d^2/(dx)^2 (y) 这里求导两次也是算子
ylnx -> lnx*(y) 这里（lnx乘以）也是算子
在微分方程中，常见的算子，不外乎以上几种，乘除（乘性算子）、求导（微分算子）、积分（积分算子）等等。。。
最终结果就是：（这里，用D来简化d/dx，DD就是求两次导）
{sinx*DD - e^x*D - lnx} (y) = 0
以上大括号部分就是算子形式的L，等号右边的0就是我们的f。如果是0，也就是所谓的齐次方程，否则成为非齐次。
为什么说L是线性呢？
我们作用在a*y1+b*y2上，以检验算子的线性性
这里y1、y2认为是两个可能的解，如果是线性的话，那么解经过线性叠加也是解。
L(a*y1+b*y2) = {sinx*DD - e^x*D - lnx} (a*y1+b*y2) L里面每个都搞进去
=sinx*DD (a*y1+b*y2) - e^x*D(a*y1+b*y2) - lnx (a*y1+b*y2)
因为求导和乘法满足线性
=a*sinx*DD(y1) + b*sinx*DD(y2) - a*e^x*D(y1) - b*e^x*D(y2) - a*lnx*y1 - b*lnx*y2
重新整理一下
=a*L(y1) + b*L(y2)
正好L满足线性性
L(a*y1+b*y2) = a*L(y1) + b*L(y2)
So，这个方程就是线性方程啦！
PS：方程是否线性，用处和判断标准也在于：如果我已经找到了n个解，这n个解的线性组合是不是仍然是解。这对于寻找解是在很方便，而通解也相对容易找到（因为可以通过线性组合的方法来找出所有解）。
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写成算子形式，就是：
y' -> d/dx (y) d/dx 就是所谓的算子
y'' -> d^2/(dx)^2 (y) 这里求导两次也是算子
ylnx -> lnx*(y) 这里（lnx乘以）也是算子
在微分方程中，常见的算子，不外乎以上几种，乘除（乘性算子）、求导（微分算子）、积分（积分算子）等等。。。
最终结果就是：（这里，用D来简化d/dx，DD就是求两次导）
{sinx*DD - e^x*D - lnx} (y) = 0
以上大括号部分就是算子形式的L，等号右边的0就是我们的f。如果是0，也就是所谓的齐次方程，否则成为非齐次。
为什么说L是线性呢？
我们作用在a*y1+b*y2上，以检验算子的线性性
这里y1、y2认为是两个可能的解，如果是线性的话，那么解经过线性叠加也是解。
L(a*y1+b*y2) = {sinx*DD - e^x*D - lnx} (a*y1+b*y2) L里面每个都搞进去
=sinx*DD (a*y1+b*y2) - e^x*D(a*y1+b*y2) - lnx (a*y1+b*y2)
因为求导和乘法满足线性
=a*sinx*DD(y1) + b*sinx*DD(y2) - a*e^x*D(y1) - b*e^x*D(y2) - a*lnx*y1 - b*lnx*y2
重新整理一下
=a*L(y1) + b*L(y2)
正好L满足线性性
L(a*y1+b*y2) = a*L(y1) + b*L(y2)
So，这个方程就是线性方程啦！
PS：方程是否线性，用处和判断标准也在于：如果我已经找到了n个解，这n个解的线性组合是不是仍然是解。这对于寻找解是在很方便，而通解也相对容易找到（因为可以通过线性组合的方法来找出所有解）。
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