7阶循环群的生成元个数
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发布时间：2022-04-29 17:27
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时间：2023-10-23 16:11
7阶循环群的生成元个数：G有4个生成元，分别为a，a^3，a^7，a^9。
非平凡的子群共有2个，分别为：A1=={e，a^2，a^4，a^6，a^8}，A2=={e，a^5}，A1的左陪集分解为：{e，a^2，a^4，a^6，a^8}∪{a，a^3，a^5，a^7，a^9}，关于A2的分解为：{e，a^5}∪{a，a^6}∪{a^2，a^7}∪{a^3，a^8}∪{a^4，a^9}。
定理
有且仅有两个元1和-1可以作为整数加群Z的生成元，在Z中除零元外，每个元的阶都是无限的，已证1和-1可以作为整数加群Z的生成元，如果另有k是生成元，则(k)=(1)=Z，这时由1∈(k)={km,m∈Z}，即存在m∈Z，使1=km，于是k=m=±1，所以只有两个元1与-1可以作为整数加群Z的生成元。若k∈Z，k≠0，则∀m，n∈Z，m≠n，有mk≠nk，所以IkI=∞。
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时间：2023-10-23 16:11
7阶循环群的生成元个数：G有4个生成元，分别为a，a^3，a^7，a^9。
非平凡的子群共有2个，分别为：A1=={e，a^2，a^4，a^6，a^8}，A2=={e，a^5}，A1的左陪集分解为：{e，a^2，a^4，a^6，a^8}∪{a，a^3，a^5，a^7，a^9}，关于A2的分解为：{e，a^5}∪{a，a^6}∪{a^2，a^7}∪{a^3，a^8}∪{a^4，a^9}。
定理
有且仅有两个元1和-1可以作为整数加群Z的生成元，在Z中除零元外，每个元的阶都是无限的，已证1和-1可以作为整数加群Z的生成元，如果另有k是生成元，则(k)=(1)=Z，这时由1∈(k)={km,m∈Z}，即存在m∈Z，使1=km，于是k=m=±1，所以只有两个元1与-1可以作为整数加群Z的生成元。若k∈Z，k≠0，则∀m，n∈Z，m≠n，有mk≠nk，所以IkI=∞。
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时间：2023-10-23 16:11
7阶循环群的生成元个数：G有4个生成元，分别为a，a^3，a^7，a^9。
非平凡的子群共有2个，分别为：A1=={e，a^2，a^4，a^6，a^8}，A2=={e，a^5}，A1的左陪集分解为：{e，a^2，a^4，a^6，a^8}∪{a，a^3，a^5，a^7，a^9}，关于A2的分解为：{e，a^5}∪{a，a^6}∪{a^2，a^7}∪{a^3，a^8}∪{a^4，a^9}。
定理
有且仅有两个元1和-1可以作为整数加群Z的生成元，在Z中除零元外，每个元的阶都是无限的，已证1和-1可以作为整数加群Z的生成元，如果另有k是生成元，则(k)=(1)=Z，这时由1∈(k)={km,m∈Z}，即存在m∈Z，使1=km，于是k=m=±1，所以只有两个元1与-1可以作为整数加群Z的生成元。若k∈Z，k≠0，则∀m，n∈Z，m≠n，有mk≠nk，所以IkI=∞。
