谁证明出了π是无理数?最早开始计算π的人是谁?

发布网友发布时间：2022-04-29 14:48

共4个回答

热心网友时间：2023-07-22 17:17

给出一个高中生也能看懂的证明方法，由瑞典数学家约翰·海因里希·兰伯特给出。此方法利用三角函数的泰勒级数展开，巧妙的反复运用倒数技巧得到了tan x的连分数表示，然后证明了这个连分数是一个无理数。据信，这个也世界上第一个证明π是无理数的方法。此方法简洁易懂，即使从现在的观点来看，其思路也非常具有启发性。

▲ 约翰·海因里希·兰伯特(图行二左三)

1）无理数和反证法

无理数是指不能写成分数的数。如果需要证明某个数是无理数，大多用反证法，即假设它可以表示成两个整数的比，然后推导出矛盾，以此证明假设不成立。

例如，如何证明lg3是无理数？可以先设 lg3 是有理数，于是有

两边同取n次幂

得到

这个等式显然不成立，因为其左边是一个偶数而右边是一个奇数，得到了矛盾的结果，因此lg3是有理数的假设不成立。附一中有几个练习，请试试。

2）连分数

连分数(Continued fraction)也叫繁分数，是形如下图的分数：

其中a0、a1、a2……，b0、b1、b2……为实数或复数。连分数常用来*近无理数，这也是最早研究连分数的动机，想将实数用“纯粹的数学”表示出来。连分数的相关理论在数学中有着重要作用，它是数论及线性方程研究中的一个重要工具，与概率论、级数递归、函数*近、工程技术和计算机科学等也有联系。

连分数因大数学家欧拉而广为人知，欧拉证明了形如下图的、所有分子都是1、所有分母都是正整数的无限简单连分数均是无理数。

实际上，上图中的无限连分数等于，其分母是121212……无限循环。欧拉利用连分数的这一无理性质证明了自然底数e是无理数，并且得到了e的无限连分数形式：

从第二个2开始，其分母是211、411、611、811、1011……。兰伯特是欧拉在柏林科学院的同事，熟悉欧拉对连分数的研究和成果，他因此冒出一个好主意：将tanx写成连分数形式。

3）麦克劳林公式

麦克劳林公式是泰勒公式在x=0点的特殊形式。若f(x)在x=0处n阶连续可导，则下式成立：

世界上第一个证明π是无理数的方法—高中生也能理解

其中

表示 n 阶导数且(0 <θ<1)。因为y=sinx在x=0处具有任意阶导数，用麦克劳林公式在x=0处展开sinx，得到：

同样展开cosx得到：

第一步，兰伯特得到了tanx的连分数表示：

第二步，兰伯特证明了，当x是除0之外的有理数时，tanx是无理数。所以tan(1/2)、tan(3/4)等都是无理数。

第三步，因为tan(π/4)=1，1不是无理数，所以π/4不能写为分数形式，即不是有理数，从而证明π是无理数。

热心网友时间：2023-07-22 17:17

公元1761年,瑞士 J-H.兰伯特证明π是无理数。最早计算出圆周率的人是祖冲之。祖冲之算出圆周率（π）的真值在3.1415926和3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926，祖冲之因此入选世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的科学家。

热心网友时间：2023-07-22 17:17

兰伯特是第一位以严谨的证法证明π是无理数的数学家.最早开始计算的人是祖冲之，他在数学上很杰出成就，就是关于圆周率的计算。

热心网友时间：2023-07-22 17:18

最早是由德国数学家Lambert在17世纪证明出来π是无理数，最早计算出圆周率的人是祖冲之。祖冲之算出圆周率（π）的真值在3.1415926和3.1415927之间。