普通年金终值公式推导思路
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发布时间：2022-04-28 22:24
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时间：2022-06-26 04:56
设终值为S，年金为A，利率为i，期数为n:
S=A+A（1+i）+……+A（1+i）^n-1
此等式两边同乘以1+i得：
1+iS=A（1+i）+A（1+i）^2……+A（1+i）^n
后式减前式可得：
iS=A(1+i)^n-A
则有：S=A[(1+i)^n-1]/i
其实这就是个首项为A，公比为(1+i)，项数为n的等比数列的和，直接套用公式：首项×（1-公比的n次方）÷（1-公比，即可得出。
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普通年金（Ordinary Annuity）是指每期期末收付款项的年金，例如采用直线法计提的单项固定资产的折旧（折旧总额会随着固定资产数量的变化而变化。
先付年金（Annuity Due）是指每期期初收付款项的年金，例如先付钱后用餐的餐厅，每一道菜（包括米饭、面、饺子和馄饨等）分别出来之后都是先付年金。
递延年金（Deferred Annuity）是指在预备计算时尚未发生收付，但未来一定会发生若干期等额收付的年金，一般是在金融理财和社保回馈方面会产生递延年金。递延年金在做投资或其他资本预算时具有相当可观的作用。
永续年金（Perpetual Annuity）即无限期连续收付款的年金，最典型的就是诺贝尔奖金。
参考资料来源：百度百科--普通年金终值
参考资料来源：百度百科--年金终值
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时间：2022-06-26 04:56
资本回收系数与年金现值系数呈倒数关系。与资本回收系数呈倒数关系的是年金现值系数。
设终值为S，年金为A，利率为i，期数为n:
S=A+A（1+i）+……+A（1+i）^n-1
此等式两边同乘以1+i得：
1+iS=A（1+i）+A（1+i）^2……+A（1+i）^n
后式减前式可得：
iS=A(1+i)^n-A
则有：S=A[(1+i)^n-1]/i
其实这就是个首项为A，公比为(1+i)，项数为n的等比数列的和，直接套用公式：
首项×（1-公比的n次方）÷（1-公比）
即可得出。
普通年金终值是指最后一次支付时的本利和，它是每次支付的复利终值之和。按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，就是该年金终值。如果年金相当于零存整取储蓄存款的零存数，那么年金终值就是零存整取的整取数。
扩展资料：
从资本主义初期开始，“高利贷”现象频出，贷出资金者在短时期内“利滚利”生钱，由此也就产生了“复利”的概念。在这样的社会大背景下，复利产生了；而为了简化等额复利的计算，年金也就应运而生。
普通年金是每期期末收付款项的年金，例如采用直线法计提的单项固定资产的折旧（折旧总额会随着固定资产数量的变化而变化，不是年金。
但就单项固定资产而言，其使用期内按直线法计提的折旧额是一定的）、一定期间的租金（租金不变期间）、每年员工的社会保险金（按月计算，每年7月1日到次年6月30日不变）、一定期间的贷款利息（即银行存贷款利率不变且存贷金额不变期间，如贷款金额在银行贷款利率不变期间有变化可以视为多笔年金）等。
普通年金终值：指一定时期内，每期期末等额收入或支出的本利和，也就是将每一期的金额，按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，就是该年金终值。
例如：每年存款10000元，年利率为10%，经过5年，逐年的终值为年金终值，计算为：
记作F=A（F/A，i，n）。推导如下：
如果年金的期数n很多，用上述方法计算终值显然相当繁琐。由于每年支付额相等，折算终值的系数又是有规律的，所以，可找出简便的计算方法，其思路为：将其视为以（1+i）为公比的等比数列，采用等比数列求和公式，将其简化为以下公式：
设每年的支付金额为A，利率为i，期数为n，则按复利计算的年金终值F为：式中 为普通年金终值系数后付年金终值系数，利率为i，经过n期的年金终值记作(F/A，i，n)，可查普通年金终值系数表。
参考资料：百度百科---普通年金终值
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时间：2022-06-26 04:57
设终值为S，年金为A，利率为i，期数为n:S=A+A（1+i）+……+A（1+i）^n-1
此等式两边同乘以1+i得：1+iS=A（1+i）+A（1+i）^2……+A（1+i）^n
后式减前式可得：iS=A(1+i)^n-A
则有：S=A[(1+i)^n-1]/i
其实这就是个首项为A，公比为(1+i)，项数为n的等比数列的和，直接套用公式：首项×（1-公比的n次方）÷（1-公比），即可得出。
普通年金终值是指最后一次支付时的本利和，它是每次支付的复利终值之和。按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，就是该年金终值。如果年金相当于零存整取储蓄存款的零存数，那么年金终值就是零存整取的整取数。
举例说明：
假定期限为5年，那么，第一年年末的年金折算到第五年年末的复利终值就是A(1+10%)的4次方；
第二年年末的年金折算到第五年年末的复利终值是A(1+10%)的3次方；
第五年年末的年金折算到第五年年末的复利终值是A(1+10%)的0次方，即A；
无论是普通年金终值还是预付年金终值，他们折算的最终时点都是从第一期期末或起初折算到最后一期期末。当然，预付年金终值与普通年金终值相比，他们发生的年金A的次数是一样的，但是，A出现的时点一个是期末一个是起初，因此在货币时间方面存在一年的误差。
扩展资料：
先付年金终值：是其最后一期期末时的本利和，相当于各期期初等额收付款项的复利终值之和。
n期先付年金与n期普通年金的收付款次数相同，但由于付款时间不同，n期先付年金终值比n期普通年金的终值多计算一期利息。因此在n期普通年金终值的基础上乘以（1+i）就得出n期先付年金的终值了，公式为：
记作F=A·[(F/A，i，n+1)-1]
则如果上例为每年初计息的话，经过5年，逐年的终值为年金终值，计算为：
参考资料：百度百科——普通年金终值
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时间：2022-06-26 04:58
思路如下：
（1）设终值为S，年金为A，利率为i，期数为n：S=A+A（1+i）+……+A（1+i）^n-1；
（2）等式两边同乘以1+i 得：1+iS=A（1+i）+A（1+i）^2……+A（1+i）^n；
（3）后式减前式可得：iS=A(1+i)^n-A ；则有：S=A[(1+i)^n-1]/i；
（4）其实这就是个首项为A，公比为(1+i)，项数为n的等比数列的和。直接套用公式：首项×（1-公比的n次方）÷（1-公比）即可得出。
年金终值就是在已知等额收付款金额Present、利率（这里我们默认为年利率）interest和计息期数n时，考虑货币的时间价值，计算出的这些收付款到到期时的等价票面金额。
年金按其每次收付发生的时点（即收付当日日是在有限期的首期期末、有限期的首期期初、有限期的若干期后的期末、无限期）的不同，可分为：普通年金（后付年金）、先付年金、递延年金、永续年金等几种。
故年金终值亦可分为：普通年金终值、先付年金终值、递延年金终值。（注：永续年金只有现值，不存在终值。）
扩展资料：
普通年金终值的计算：
（1）指一定时期内，每期期末等额收入或支出的本利和，也就是将每一期的金额，按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，就是该年金终值。
（2）例如：每年存款10000元，年利率为10%，经过5年，逐年的终值为年金终值，计算为：
；
（3）记作F=A（F/A，i，n）。推导如下：
；
（4）如果年金的期数n很多，用上述方法计算终值显然相当繁琐。由于每年支付额相等，折算终值的系数又是有规律的，所以，可找出简便的计算方法，其思路为：将其视为以（1+i）为公比的等比数列，采用等比数列求和公式，将其简化为以下公式：
（5）设每年的支付金额为A，利率为i，期数为n，则按复利计算的年金终值F为：
；
（6）式中 为普通年金终值系数后付年金终值系数，利率为i，经过n期的年金终值记作(F/A，i，n)，可查普通年金终值系数表。
参考资料：
百度百科-年金终值
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时间：2022-06-26 04:58
第一步是一样的，先画一个图（做类似的推导一定要学会画图，并且善于画图，化抽象为具体）
设终值为S，年金为A，利率为i，期数为n：
可以轻易看出 S=A+A（1+i）+……+A（1+i）^n-1；
接下来运用等比数列求和公式：S=a1(1-q^n)/(1-q)
可以看出a1=A, q=1+i，套公式得
S=A[1-(1+i)^n]/(-i)=A[(1+i)^n-1]/i
PS:解释一下为什么不是n-1：首项A相当于a1*q^0，0到（n-1）项，实际上就是n项。
