数学高手看过来!!!高悬赏!!!我要初一期末考试了!给些难题!
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发布时间：2022-04-27 11:08
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时间：2023-09-14 14:40
1．如图所示，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB=FC，AB=CD。求证：AF=DE。
分析：寻找AF、DE所在的三角形，首先证明ΔAFC≌ΔDEB。然后证明AF=DE。
证明：∵EB⊥AD（已知）
∴∠EBD=90°（垂直定义）同理可证∠FCA=90°，
∴∠EBD=∠FCA，
∵ AB=CD， BC=BC，
∴ AC=AB+BC=BC+CD=BD，
在ΔACF和ΔDBE中，
∴ΔACF≌ΔDBE（SAS），
∴AF=DE（全等三角形对应边相等）。
例2，如图，已知AB、CD互相平分于O，过O点引直线与AD、BC分别交于E、F点，求证：AE=BF。
分析：分析证明的思路，我们可以按两个方向进行：
（1）“由因导果”：由已知条件，已经可以证明哪几对三角形全等？由此可以得出哪些线段或角相等？能由此得到求证的结论吗？
在这道例题中，由已知条件，AO=BO，∠AOD=∠BOC，DO=CO，很快可用（SAS）证得△AOD≌△BOC，于是根据全等三角形的性质又可得AD=BC，∠A=∠B，∠D=∠C的结论，考虑到最终证明的结论，从这三个中间结果中选择最有效的转为新的三角形全等的条件：由于AE与BF分别处于△AOE和△BOF之中，于是选择∠A=∠B，作为新的条件，用（ASA）来证明△AOE≌△BOF，再用全等三角形性质得AE=BF。
（11）“由果索因”：根据求证目标，需证哪一对三角形全等；如果条件不够，能通过证另一对三角形全等提供条件吗？
在这道例题中，为了证明AE=BF，由于AE，BF分别在△AOE和△BOF中，可先考虑证明△AOE≌△BOF，已有OA=OB，∠AOE=∠BOF，所缺条件为∠A=∠B或OE=OF，再考虑∠A、∠B又分别在△AOD和△BOC中，看△AOD≌△BOC的条件是否具备，而根据题设证明这一对三角形全等却是很容易完成的。
这两种方法的思考，第一种代表“顺推”思路，而第二种代表“逆推”的思路，但不管哪一种思路，在证明过程的书写时，必须用顺推的方法书写证明。
证明：∵AB、CD互相平分于O（已知）
∴AO=BO，OC=OD（线段中点定义）
在△AOD和△BOC中
∵
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴∠A=∠B（全等三角形对应角相等）
在△AOE和△BOF中
∵
∴△AOE≌△BOF （ASA）
∴AE=BF（全等三角形的对应边相等）
例3，如图，AC、BD相交于E，AC=BD，AB=DC，求证：BE=CE。
分析：为了证明BE=CE，只要证明△ABE≌△DCE，在这两个三角形中，已有AB=DC，∠AEB=∠DEC，已有一角和所对边分别对应相等，还缺少一个条件，只能再寻找一对角的相等条件，很自然使我们将目光转向证明∠A=∠D，或∠B=∠C，如果要证明角等，图中已经不再有现成的全等三角形，结合条件，只需连结AD，辅助线AD成了两个三角形△ABD和△ACD的一条公共边，从题设构成了一对全等三角形；△ACD≌△DBA，由此找到了证明的完整思路。
证明的路线如下：
证明：连结AD。
在△ACD和△DBA中
∵
∴△ACD≌△DBA（SSS）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
在△ABE和△DCE中
∵
∴△ABE≌△DCE（AAS）
∴BE=CE（全等三角形对应边相等）
例4，求证：全等三角形的对应角的平分线相等。
分析：首先要分清命题中的题设和结论部分，从形式上看，题目中似乎只有结论部分，不知道题设应该写什么？实际上，任何一个数学命题都是一个完整的叙述，它们都是判断某一件事情的句子，
那么这一句子中必有被判断的对象及判断后得到的结果，那么这个被判断的对象就是命题的条件（题设），结果就是命题的结论。根据这个标准，例题中的题设应该是：两个全等三角形及其对应角的平分线。结论是：对应角的平分线相等。
分清了命题的题设与结论两部分，就可以把命题的内容画成相应的几何图形，以便用简单的符号代替文字叙述。此例题可以这样画图。画出两个全等三角形，△ABC和△A'B'C'，再做出一对对应角∠A∠A'的平分线AD和A'D'。
在画图时必须注意两点：（1）不要画出题中所没有的多余条件。如按本题要求，三角形只能画成任意三角形，而不要画成等腰三角形、等边三角形，以免干扰思维。（2）不忽略题中所指图形应有的性质。两个三角形全等的，就不应画出一大一小，或形状各异的两个三角形。
然后，结合图形，按每一概念的确切叙述写出已知，求证。
已知：△ABC≌△A'B'C'，AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线，求证：AD=A'D'。
证明的路线如下：
证明：∵△ABC≌△A'B'C'（已知）
∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'（全等三角形的对应角相等）
AB=A'B'（全等三角形的对应边相等）
又∵AD、A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线（已知）
∴∠1=∠BAC，∠2=∠B'A'C'（角平分线定义）
∴∠1=∠2（等量之半相等）
在△ABD和△A'B'D'中
∵
∴△ABD≌△A'B'D'（ASA）
∴AD=A'D'（全等三角形的对应边相等）
例5，求证：两个三角形的两边和第三边的中线对应相等的两个三角形的第三边也相等。
分析：题目的题设是两个三角形中有两边和第三边的中线对应相等，结论是这两个三角形的第三边相等。
已知△ABC和△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，D为BC中点，D'为B'C'中点，且AD=A'D'，求证：BC=B'C'
分析：由题设可知所给的已知条件不在同一个三角形中，要想充分利用
已知条件，就得想办法将这些分散的条件集中在一个三角形中。因为题目中有中线，常常采用作倍长中线的辅助线，这样创造出全等的三角形，再利用全等三角形的性质。这样达到将分散的条件集中在一个三角形中的目的，使问题向着可以解决的方向转化。
证明：延长AD到E，使DE=AD，连结BE，
延长A'D'到E'，使D'E'=A'D'，连结B'E'
∵AD=A'D'(已知)∴DE=D'E'（等量代换）
∵D为BC中点，D'为B'C'中点（已知）
∴BD=DC，B'D'=D'C'（线段中点定义）
在△ACD和△EBD中 在△A'C'D'和△E'B'D'中
∵ ∵
∴△ACD≌△EBD（SAS） ∴△A'C'D'≌△E'B'D'（SAS）
∴AC=BE(全等三角形对应边相等)
∴A'C'=B'E'(全等三角形对应边相等)
∴∠E=∠5(全等三角形对应角等)
∴∠E'=∠6（全等三角形对应角等）
∵AC=A'C'(已知)
∴BE=B'E'(等量代换)
∴2AD=AE，2A'D'=A'E'(等式性质)
∴AE=A'E'(等量代换)
在△ABE和△A'B'E'中
∵
∴△ABE≌△A'B'E'(SSS)
∴∠7=∠8
∴∠E=∠E'(全等三角形的对应角相等)
又∵∠E=∠E'（已证）∠E=∠5，∠E'=∠6(已证)
∴∠5=∠6（等量代换）
∵∠7=∠8（已证）
∴∠7+∠5=∠8+∠6（等式性质）
即∠BAC=∠B'A'C'
在△BAC和△B'A'C'中
∵
∴△BAC≌△B'A'C' (SAS)
∴BC=B'C'
三、辅助线的做法： 在全等三角形这部分的证明中，已经开始需要添加辅助线，添加辅助线的基本思想就是添加辅助线，构造全等三角形，现在我们介绍一些添加辅助线的方法，供大家学习。
1、按照“中心对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。
把一个三角形绕着它的一个顶点旋转180°，得到另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三角形(或者说，把一个三角形绕着某一个点旋转180°后 ，得到了另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三角形)．如下列基本图形。
说明：当几何问题中出现两条相等的线段在一组对顶角的两边且成一直线时，就可以添加中心对称型的全等三角形进行证明，添加的方法是过端点作平行线．或者按照上边的例题5的方法，截取相等的线段。
例析：如图，已知ΔABC中，AB＝AC，BD=CF．求证：DE＝EF．
分析一 这个题目要证明的结论是DE=EF．如图所示，这就出现了相等两线段在一组对顶角的两边，而且成一直线，在这种情况下，就可以添加一对中心对称型的全等三角形进行证明。添加的方法是过D作DG//AC，交BC于G，如图所示，那么ΔDGE和ΔFCE就一定是一对中心对称型的全等三角形。要证明这两个三角形全等就应抓住一组边相等的条件，而DE=EF是结论不能用，需要证明另一组边。
已知条件告诉我们CF=BD，所以就应该证明CF和它的对应边DG相等，如图所示，也就是证明DB=DG，而DG//AC，所以∠1=∠2，又已知AB=AC，所以∠2=∠B，因此∠1=∠B，那么DB=DG就可以证明了。
证明一：过D作DG//AC交BC于G。
∵DG//AC
∴∠1=∠2；∠3=∠4
∵AB=AC(三角形ABC为等腰三角形)
∴∠B=∠2
∴∠1=∠B，∴DG=DB=CF
在△DGE、△FCE中
∴△DGE≌△FCE
∴DE=EF
分析二：如下图所示，本题也可以过端点F作FH//AB交BC的延长线于H，补出一对中心对称型全等ΔBDE和ΔHFE。
证明二提示:与上一种证法基本一致,通过证明△EFH≌△EDB来证得DE=EF,注意使用BD//FH,推出角的关系.证明略.
说明：等腰三角形的两底角相等 ，在小学学过，今后还要研究。
2、按照“轴对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。
把一个三角形沿着某一条直线翻转后与另一个三角形重合，那么这一对三角形就叫做轴对称型全等三角形。
基本图形：
当几何问题中出现两条相等的线段或两个相等的角关于某一线段或直线成轴对称时，就可以构造轴对称型的全等三角形进行证明。
例析：如图，在正方形ABCD的对角线AC上截取AE=AB，作EF⊥AC交BC于F。求证：EF=FB.
分析：本题目要证明的结论EF=FB。本题目已知中有AE=AB，又有∠AEF=∠B=90°，所以，连接AF构造△AEF、△ABF全等，容易证明。
证明：连接AF，在正方形ABCD中，∠B=90°，
∵ EF⊥AC
∴ ∠AEF=90°
在RT△AEF、RT△ABF中，
AE=AB
AF=AF
∴ RT△AEF≌RT△ABF (HL)
∴EF=BF.
祝你成功
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时间：2023-09-14 14:40
一、填空
1、解方程 时，首先把原方程分母中的小数化为整数，即原方
程化为： 依据是 ；
2、方程3x + a = 2x – 4的解是 x = 1，则a = ；
3、当x = 时，代数式 的值等于 – 1；
4、当k是一元一次方程 的解时，代数式k2 – 6k + 9的值为 ；
5、当m = 时，3|m| + 1与2|m| – 6 互为相反数；
6、兄弟二人的年龄和是21岁，哥哥比弟弟大5岁，问哥哥弟弟各是多少岁？
设哥哥的年龄是x岁，则弟弟是 或 岁，根据题意列方
程是 或 ；
7、用科学计数法表示下列各数：
149 000 000 = 361 000 000 =
8、写出下列用科学计数法表示的数的原数：
7.2×105 = 2.5×1013 =
二、解下列方程
1、 2、
3、 4、
三、列一元一次方程解应用题
1、一种产品现在的成本是37.4元，比原来降低了15%，原来的成本是多少？
2、初一年级三班有学生52人，其中男生是女生的2倍少8人，求男女生各多少人？
3、甲、乙二人练习短跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑1秒，甲经
过几秒可以追上乙？
4、某项工作，甲单独做3小时完成，乙单独做5小时完成，两人合作这项工作的 ，几
小时完成？
5、某人存5000元的三年期存款，三年后得到利息405元，求三年期存款的年得率。
6、一只船，载重量是800吨，容积是795立方米，现在要装铁和棉花两种货物，铁每吨
体积是0.3立方米，棉花每吨是4立方米，铁和棉花各装多少吨才能充分利用船的载
重量和容积？
四、完成下列各题
1、从下列两个统计图中，你能看出哪一个学校的女生人数多吗？为什么？
女生
50%
女生
40%
男生
60%
男生
50%
甲校
乙校
2、制作适当的统计图表示下列数据：
1）对1000人调查他们对某歌星的喜欢程度，得到如下的结果：
喜欢程度
很喜欢
较喜欢
不喜欢
总 计
人 数
625
250
125
1000
2）1949年以后我国历次人口普查情况
年 份
1953
1964
1982
1990
2000
人口/亿
5.94
6.95
10.08
11.34
12.95
请你先选择一个统计图： 图是第1）题， 图是第二题（填甲、乙、丙）。然后完成它。
3
6
6
9
12
3
6
6
9
12
甲图
乙图
丙图
以及另一套题~~~
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。
1、假定未拧紧的水龙头每秒钟渗出2滴水，每滴水约0.05毫升，现有一个水龙头未拧紧，4小时后，才被发现拧紧，在这段时间内，水龙头共滴水约（ ）（用科学记数法表示，结果保留两位有效数字）
（A）1440毫升。 （B） 毫升。 （C） 毫升。 （D） 毫升。
2、如图1，直线L与∠O的两边分别交于点A、B，则图中以O、A、B为端点的射线的条数总和是（ ）。
（A）5． （B）6. （C）7. (D)8.
3、整数a,b满足：ab≠O且a+b＝O，有以下判断：
○1a,b之间没有正分数； ○2a,b之间没有负分数；
○3a,b之间至多有一个整数； ○4a,b之间至少有一个整数 。
其中，正确判断的个数为（ ）
（A）1． （B）2. (C)3. (D)4.
4、 方程 的解是 x＝（ ）
（A） （B） (C) (D)
5、如图2，边长为1的正六边形纸片是轴对称图形，它的对称轴的条数是（ ）。
（A）1. (B)3. (C)6. (D)9.
6、在9个数：－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3中，能使不等式－3 ＜－14成立的数的个数是（ ）
（A）2. (B)3. (C)4. (D)5.
7、韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图3（a）放置，然后又如图3（b）放置，则图3（b）中四个底面正方形中的点数之和为（ ）
（A）11. (B)13. (C)14. (D)16.
图3
8、对于彼此互质的三个正整数 ，有以下判断：
① 均为奇数 ② 中必有一个偶数 ③ 没有公因数 ④ 必有公因数
其中，不正确的判断的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
9、将棱长为1厘米的42个立方体积木拼在一起，构成一个实心的长方体。如果长方体底面的周长为18厘米，那么这个长方体的高是（ ）
（A）2厘米 （B）3厘米 （C）6厘米 （D）7厘米
10、If 0小于c小于b小于a ,then ( )
(A)c+a分之b+a大于等于c分之b大于等于c-a分之b-a(B)b-c分之a-c大于等于b分之a大于等于b+c分之a+c(C)c-a分之b-a大于等于c分之b大于等于c+a分之b+a(D)b+c分之a+c大于等于b分之a大于等于b-c分之a-c
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
11、 若有理数 满足 ，则
12、 今天（2007年4月15日，星期日）是第18届“希望杯”全国数学邀请赛举行第2试的日子，那么几天以后的第 天是星期
13、 孔子诞生在公元前551年9月28日，则2007年9月28日是孔子诞辰 周年。（注：不存在公元0年）
14、In Fig。4，ABCD is a rectangle.，The area of the shaded rectangle is
15、 下表是某中学初一（5）班2007年第一学期期末考试数学成绩统计表：
分数 40------59 60-------70 71-------85 86------100
人数 5 19 12 14
这个班数学成绩的平均分不低于 分，不高于 分。（精确到 ）
16、 已知 ，其中 代表非0数字，那么
17、 某城市有一百万户居民，每户用水量定额为月平均5吨，由于6，7，8月天热，每户每月多用水1吨，为了不超过全年用水定额，则全年的其它月份每户的用水量应控制在每月平均 吨之内。如果每户每天节约用水2千克，则全市一年（按365天计）节约的水量约占全年用水定额的 %（保留三位有效数字）
18、a，b，c，都是质数，且满足a+b+c+abc=99，则/a分之一减b分之一/+/b分之一减c分之一/+/c分之一减a分之一/= （/……/代表绝对值）
19、 一项机械加工作业，用4台A型车床，5天可以完成：用4台A型车床和2台B型车床，3天可以完成；用3台B型车床和9台C型车床，2天可以完成。若A型、B型和C型车床各一台一起工作6天后，只余下一台A型车床继续工作，则再用 天就可以完成这项作业
20、 设 ，则 和 四个式子中，值最大的是
值最小的是
三、解答题（本大题共3小题，共40分） 要求：写出推算过程。
21、 （本题满分10分）
小明在平面上标出了2007个点并画了一条直线L，他发现：这2007个点中的每一点关于直线L的对称点，仍在这2007个点中，请你说明：这2007个点中至少有1个点在直线L上。
22、 （本题满分15分）
小明和哥哥在环形跑道上练习长跑。他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次。现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小明，并且比小明多跑了20圈，求：
（1） 哥哥速度是小明速度的多少倍？
（2） 哥哥追上小明时，小明跑了多少圈？
23、 （本题满分15分）
满足1＋3n≤2007，且使得1＋5n是完全平方数的正整数n共有多少个？
答案：
一、 选择题（每小题4分。）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C C C D C B D
二、 填空题（每小题4分；两个空的小题，每个空2分。）
11 ：负三分之二 12：三 13：2257 14：18 15：67；9；80；9 16：98 17：四又三分之二；1.22 18：十九分之十七 19：2 20：a分之一；a+b分之一
三．解答题
21．假设这2007个点都不在直线L上，由于其中每个点 （i＝1，2，……，2007）关于直线L的对称点 仍在这2007个点中，所以 不在直线L上。
也就是说，不在直线L上点 （i＝1，2，……，2007）与 关于直线L对称的点 成对出现，即平面上标出的点的总数应是偶数个，与点的总数2007相矛盾！
因此，“这2007个点都不在直线L上”的假设不能成立，即这2007个点中至少有1个点在直线L上。
22．设哥哥的速度是 米/秒，小明的速度是 米/秒。环形跑道长s米。
（1）由“经过25分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑了20圈”，知
经过 分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑了1圈。所以
整理，得，
所以， .
(2)根据题意，得
即 解得，
故经过了25分钟小明跑了
（2）另解 由 ，知小明每跑1圈，哥哥就比小明多跑1圈，所以当哥哥比小明多跑20圈时，小明也跑了20圈。
23．由条件1＋3n≤2007得
n≤668,n是正整数。
设1＋5n＝ （m是正整数），则
，这是正整数。
故可设m＋1＝5k，或m-1=5k（k是正整数）
○1当m+1=5k是， ，由
，得，k≤11
当k=12时， ＞668。
所以，此时有11个满足题意的正整数n使1＋5n是完全平方数；
○2当m－1＝5k时， ，
又 ＜ ，且当k＝11时 ＜668，
所以，此时有11个满足题意的正整数n使1＋5n是完全平方数。
因此，满足1＋3n≤2007且使1＋5n使完全平方数的正整数n共有22个。
还有点儿证图题~~~~~
1．如图所示，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB=FC，AB=CD。求证：AF=DE。
分析：寻找AF、DE所在的三角形，首先证明ΔAFC≌ΔDEB。然后证明AF=DE。
证明：∵EB⊥AD（已知）
∴∠EBD=90°（垂直定义）同理可证∠FCA=90°，
∴∠EBD=∠FCA，
∵ AB=CD， BC=BC，
∴ AC=AB+BC=BC+CD=BD，
在ΔACF和ΔDBE中，
∴ΔACF≌ΔDBE（SAS），
∴AF=DE（全等三角形对应边相等）。
例2，如图，已知AB、CD互相平分于O，过O点引直线与AD、BC分别交于E、F点，求证：AE=BF。
分析：分析证明的思路，我们可以按两个方向进行：
（1）“由因导果”：由已知条件，已经可以证明哪几对三角形全等？由此可以得出哪些线段或角相等？能由此得到求证的结论吗？
在这道例题中，由已知条件，AO=BO，∠AOD=∠BOC，DO=CO，很快可用（SAS）证得△AOD≌△BOC，于是根据全等三角形的性质又可得AD=BC，∠A=∠B，∠D=∠C的结论，考虑到最终证明的结论，从这三个中间结果中选择最有效的转为新的三角形全等的条件：由于AE与BF分别处于△AOE和△BOF之中，于是选择∠A=∠B，作为新的条件，用（ASA）来证明△AOE≌△BOF，再用全等三角形性质得AE=BF。
（11）“由果索因”：根据求证目标，需证哪一对三角形全等；如果条件不够，能通过证另一对三角形全等提供条件吗？
在这道例题中，为了证明AE=BF，由于AE，BF分别在△AOE和△BOF中，可先考虑证明△AOE≌△BOF，已有OA=OB，∠AOE=∠BOF，所缺条件为∠A=∠B或OE=OF，再考虑∠A、∠B又分别在△AOD和△BOC中，看△AOD≌△BOC的条件是否具备，而根据题设证明这一对三角形全等却是很容易完成的。
这两种方法的思考，第一种代表“顺推”思路，而第二种代表“逆推”的思路，但不管哪一种思路，在证明过程的书写时，必须用顺推的方法书写证明。
证明：∵AB、CD互相平分于O（已知）
∴AO=BO，OC=OD（线段中点定义）
在△AOD和△BOC中
∵
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴∠A=∠B（全等三角形对应角相等）
在△AOE和△BOF中
∵
∴△AOE≌△BOF （ASA）
∴AE=BF（全等三角形的对应边相等）
例3，如图，AC、BD相交于E，AC=BD，AB=DC，求证：BE=CE。
分析：为了证明BE=CE，只要证明△ABE≌△DCE，在这两个三角形中，已有AB=DC，∠AEB=∠DEC，已有一角和所对边分别对应相等，还缺少一个条件，只能再寻找一对角的相等条件，很自然使我们将目光转向证明∠A=∠D，或∠B=∠C，如果要证明角等，图中已经不再有现成的全等三角形，结合条件，只需连结AD，辅助线AD成了两个三角形△ABD和△ACD的一条公共边，从题设构成了一对全等三角形；△ACD≌△DBA，由此找到了证明的完整思路。
证明的路线如下：
证明：连结AD。
在△ACD和△DBA中
∵
∴△ACD≌△DBA（SSS）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
在△ABE和△DCE中
∵
∴△ABE≌△DCE（AAS）
∴BE=CE（全等三角形对应边相等）
例4，求证：全等三角形的对应角的平分线相等。
分析：首先要分清命题中的题设和结论部分，从形式上看，题目中似乎只有结论部分，不知道题设应该写什么？实际上，任何一个数学命题都是一个完整的叙述，它们都是判断某一件事情的句子，
那么这一句子中必有被判断的对象及判断后得到的结果，那么这个被判断的对象就是命题的条件（题设），结果就是命题的结论。根据这个标准，例题中的题设应该是：两个全等三角形及其对应角的平分线。结论是：对应角的平分线相等。
分清了命题的题设与结论两部分，就可以把命题的内容画成相应的几何图形，以便用简单的符号代替文字叙述。此例题可以这样画图。画出两个全等三角形，△ABC和△A'B'C'，再做出一对对应角∠A∠A'的平分线AD和A'D'。
在画图时必须注意两点：（1）不要画出题中所没有的多余条件。如按本题要求，三角形只能画成任意三角形，而不要画成等腰三角形、等边三角形，以免干扰思维。（2）不忽略题中所指图形应有的性质。两个三角形全等的，就不应画出一大一小，或形状各异的两个三角形。
然后，结合图形，按每一概念的确切叙述写出已知，求证。
已知：△ABC≌△A'B'C'，AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线，求证：AD=A'D'。
证明的路线如下：
证明：∵△ABC≌△A'B'C'（已知）
∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'（全等三角形的对应角相等）
AB=A'B'（全等三角形的对应边相等）
又∵AD、A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线（已知）
∴∠1=∠BAC，∠2=∠B'A'C'（角平分线定义）
∴∠1=∠2（等量之半相等）
在△ABD和△A'B'D'中
∵
∴△ABD≌△A'B'D'（ASA）
∴AD=A'D'（全等三角形的对应边相等）
例5，求证：两个三角形的两边和第三边的中线对应相等的两个三角形的第三边也相等。
分析：题目的题设是两个三角形中有两边和第三边的中线对应相等，结论是这两个三角形的第三边相等。
已知△ABC和△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，D为BC中点，D'为B'C'中点，且AD=A'D'，求证：BC=B'C'
分析：由题设可知所给的已知条件不在同一个三角形中，要想充分利用
已知条件，就得想办法将这些分散的条件集中在一个三角形中。因为题目中有中线，常常采用作倍长中线的辅助线，这样创造出全等的三角形，再利用全等三角形的性质。这样达到将分散的条件集中在一个三角形中的目的，使问题向着可以解决的方向转化。
证明：延长AD到E，使DE=AD，连结BE，
延长A'D'到E'，使D'E'=A'D'，连结B'E'
∵AD=A'D'(已知)∴DE=D'E'（等量代换）
∵D为BC中点，D'为B'C'中点（已知）
∴BD=DC，B'D'=D'C'（线段中点定义）
在△ACD和△EBD中 在△A'C'D'和△E'B'D'中
∵ ∵
∴△ACD≌△EBD（SAS） ∴△A'C'D'≌△E'B'D'（SAS）
∴AC=BE(全等三角形对应边相等)
∴A'C'=B'E'(全等三角形对应边相等)
∴∠E=∠5(全等三角形对应角等)
∴∠E'=∠6（全等三角形对应角等）
∵AC=A'C'(已知)
∴BE=B'E'(等量代换)
∴2AD=AE，2A'D'=A'E'(等式性质)
∴AE=A'E'(等量代换)
在△ABE和△A'B'E'中
∵
∴△ABE≌△A'B'E'(SSS)
∴∠7=∠8
∴∠E=∠E'(全等三角形的对应角相等)
又∵∠E=∠E'（已证）∠E=∠5，∠E'=∠6(已证)
∴∠5=∠6（等量代换）
∵∠7=∠8（已证）
∴∠7+∠5=∠8+∠6（等式性质）
即∠BAC=∠B'A'C'
在△BAC和△B'A'C'中
∵
∴△BAC≌△B'A'C' (SAS)
∴BC=B'C'
三、辅助线的做法： 在全等三角形这部分的证明中，已经开始需要添加辅助线，添加辅助线的基本思想就是添加辅助线，构造全等三角形，现在我们介绍一些添加辅助线的方法，供大家学习。
1、按照“中心对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。
把一个三角形绕着它的一个顶点旋转180°，得到另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三角形(或者说，把一个三角形绕着某一个点旋转180°后 ，得到了另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三角形)．如下列基本图形。
说明：当几何问题中出现两条相等的线段在一组对顶角的两边且成一直线时，就可以添加中心对称型的全等三角形进行证明，添加的方法是过端点作平行线．或者按照上边的例题5的方法，截取相等的线段。
例析：如图，已知ΔABC中，AB＝AC，BD=CF．求证：DE＝EF．
分析一 这个题目要证明的结论是DE=EF．如图所示，这就出现了相等两线段在一组对顶角的两边，而且成一直线，在这种情况下，就可以添加一对中心对称型的全等三角形进行证明。添加的方法是过D作DG//AC，交BC于G，如图所示，那么ΔDGE和ΔFCE就一定是一对中心对称型的全等三角形。要证明这两个三角形全等就应抓住一组边相等的条件，而DE=EF是结论不能用，需要证明另一组边。
已知条件告诉我们CF=BD，所以就应该证明CF和它的对应边DG相等，如图所示，也就是证明DB=DG，而DG//AC，所以∠1=∠2，又已知AB=AC，所以∠2=∠B，因此∠1=∠B，那么DB=DG就可以证明了。
证明一：过D作DG//AC交BC于G。
∵DG//AC
∴∠1=∠2；∠3=∠4
∵AB=AC(三角形ABC为等腰三角形)
∴∠B=∠2
∴∠1=∠B，∴DG=DB=CF
在△DGE、△FCE中
∴△DGE≌△FCE
∴DE=EF
分析二：如下图所示，本题也可以过端点F作FH//AB交BC的延长线于H，补出一对中心对称型全等ΔBDE和ΔHFE。
证明二提示:与上一种证法基本一致,通过证明△EFH≌△EDB来证得DE=EF,注意使用BD//FH,推出角的关系.证明略.
说明：等腰三角形的两底角相等 ，在小学学过，今后还要研究。
2、按照“轴对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。
把一个三角形沿着某一条直线翻转后与另一个三角形重合，那么这一对三角形就叫做轴对称型全等三角形。
基本图形：
当几何问题中出现两条相等的线段或两个相等的角关于某一线段或直线成轴对称时，就可以构造轴对称型的全等三角形进行证明。
例析：如图，在正方形ABCD的对角线AC上截取AE=AB，作EF⊥AC交BC于F。求证：EF=FB.
分析：本题目要证明的结论EF=FB。本题目已知中有AE=AB，又有∠AEF=∠B=90°，所以，连接AF构造△AEF、△ABF全等，容易证明。
证明：连接AF，在正方形ABCD中，∠B=90°，
∵ EF⊥AC
∴ ∠AEF=90°
在RT△AEF、RT△ABF中，
AE=AB
AF=AF
∴ RT△AEF≌RT△ABF (HL)
∴EF=BF.
＆一点儿基础题
求证：任何五个连续整数之和都能被5整除
2.已知x.y.z为自然数，且x＜y，当x y=1999,z-x=2000时，求x y z的最大值．
3.17个连续整数的和是306，那么紧接着着17个数后面的17个连续整数的和是多少？
4.99＊998998999－998＊999999998
5.1＋1／3＋1／3的二次方＋＾＾＾＾＋1／3的十次方
6.2／2＋3／4＋4／8＋＾＾＾＾＾＋11／2的十次方
7.已知数－1，－2，－3，1，2，3，4，从中任取两个数作积，任去三个数作积，任去四个数作积，求所有这些积的和．
1.
(n+n+1+n+2+n+3+n+4)/5
=(5n+10)/5
=n+2
2.
xy=1999,
z-x=2000
xyz=1999(2000+x)=3998000+1999x
最大值为3998000+1999*44＝4085956
3.
17n+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16
=17n+(1+16)*16/2
=17n+17*8
=306
n=10
那么这17个数的最后一个数是186，紧接着着17个数后面的17个连续整数的和是17*（187+187+16）/2＝3315
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热心网友
时间：2023-09-14 14:41
热心网友
时间：2023-09-14 14:41
分析：寻找AF、DE所在的三角形，首先证明ΔAFC≌ΔDEB。然后证明AF=DE。
证明：∵EB⊥AD（已知）
∴∠EBD=90°（垂直定义）同理可证∠FCA=90°，
∴∠EBD=∠FCA，
∵ AB=CD， BC=BC，
∴ AC=AB+BC=BC+CD=BD，
在ΔACF和ΔDBE中，
∴ΔACF≌ΔDBE（SAS），
∴AF=DE（全等三角形对应边相等）。
例2，如图，已知AB、CD互相平分于O，过O点引直线与AD、BC分别交于E、F点，求证：AE=BF。
分析：分析证明的思路，我们可以按两个方向进行：
（1）“由因导果”：由已知条件，已经可以证明哪几对三角形全等？由此可以得出哪些线段或角相等？能由此得到求证的结论吗？
在这道例题中，由已知条件，AO=BO，∠AOD=∠BOC，DO=CO，很快可用（SAS）证得△AOD≌△BOC，于是根据全等三角形的性质又可得AD=BC，∠A=∠B，∠D=∠C的结论，考虑到最终证明的结论，从这三个中间结果中选择最有效的转为新的三角形全等的条件：由于AE与BF分别处于△AOE和△BOF之中，于是选择∠A=∠B，作为新的条件，用（ASA）来证明△AOE≌△BOF，再用全等三角形性质得AE=BF。
（11）“由果索因”：根据求证目标，需证哪一对三角形全等；如果条件不够，能通过证另一对三角形全等提供条件吗？
在这道例题中，为了证明AE=BF，由于AE，BF分别在△AOE和△BOF中，可先考虑证明△AOE≌△BOF，已有OA=OB，∠AOE=∠BOF，所缺条件为∠A=∠B或OE=OF，再考虑∠A、∠B又分别在△AOD和△BOC中，看△AOD≌△BOC的条件是否具备，而根据题设证明这一对三角形全等却是很容易完成的。
这两种方法的思考，第一种代表“顺推”思路，而第二种代表“逆推”的思路，但不管哪一种思路，在证明过程的书写时，必须用顺推的方法书写证明。
证明：∵AB、CD互相平分于O（已知）
∴AO=BO，OC=OD（线段中点定义）
在△AOD和△BOC中
∵
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴∠A=∠B（全等三角形对应角相等）
在△AOE和△BOF中
∵
∴△AOE≌△BOF （ASA）
∴AE=BF（全等三角形的对应边相等）
例3，如图，AC、BD相交于E，AC=BD，AB=DC，求证：BE=CE。
分析：为了证明BE=CE，只要证明△ABE≌△DCE，在这两个三角形中，已有AB=DC，∠AEB=∠DEC，已有一角和所对边分别对应相等，还缺少一个条件，只能再寻找一对角的相等条件，很自然使我们将目光转向证明∠A=∠D，或∠B=∠C，如果要证明角等，图中已经不再有现成的全等三角形，结合条件，只需连结AD，辅助线AD成了两个三角形△ABD和△ACD的一条公共边，从题设构成了一对全等三角形；△ACD≌△DBA，由此找到了证明的完整思路。
证明的路线如下：
证明：连结AD。
在△ACD和△DBA中
∵
∴△ACD≌△DBA（SSS）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
在△ABE和△DCE中
∵
∴△ABE≌△DCE（AAS）
∴BE=CE（全等三角形对应边相等）
例4，求证：全等三角形的对应角的平分线相等。
分析：首先要分清命题中的题设和结论部分，从形式上看，题目中似乎只有结论部分，不知道题设应该写什么？实际上，任何一个数学命题都是一个完整的叙述，它们都是判断某一件事情的句子，
那么这一句子中必有被判断的对象及判断后得到的结果，那么这个被判断的对象就是命题的条件（题设），结果就是命题的结论。根据这个标准，例题中的题设应该是：两个全等三角形及其对应角的平分线。结论是：对应角的平分线相等。
分清了命题的题设与结论两部分，就可以把命题的内容画成相应的几何图形，以便用简单的符号代替文字叙述。此例题可以这样画图。画出两个全等三角形，△ABC和△A'B'C'，再做出一对对应角∠A∠A'的平分线AD和A'D'。
在画图时必须注意两点：（1）不要画出题中所没有的多余条件。如按本题要求，三角形只能画成任意三角形，而不要画成等腰三角形、等边三角形，以免干扰思维。（2）不忽略题中所指图形应有的性质。两个三角形全等的，就不应画出一大一小，或形状各异的两个三角形。
然后，结合图形，按每一概念的确切叙述写出已知，求证。
已知：△ABC≌△A'B'C'，AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线，求证：AD=A'D'。
证明的路线如下：
证明：∵△ABC≌△A'B'C'（已知）
∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'（全等三角形的对应角相等）
AB=A'B'（全等三角形的对应边相等）
又∵AD、A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线（已知）
∴∠1=∠BAC，∠2=∠B'A'C'（角平分线定义）
∴∠1=∠2（等量之半相等）
在△ABD和△A'B'D'中
∵
∴△ABD≌△A'B'D'（ASA）
∴AD=A'D'（全等三角形的对应边相等）
例5，求证：两个三角形的两边和第三边的中线对应相等的两个三角形的第三边也相等。
分析：题目的题设是两个三角形中有两边和第三边的中线对应相等，结论是这两个三角形的第三边相等。
已知△ABC和△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，D为BC中点，D'为B'C'中点，且AD=A'D'，求证：BC=B'C'
分析：由题设可知所给的已知条件不在同一个三角形中，要想充分利用
已知条件，就得想办法将这些分散的条件集中在一个三角形中。因为题目中有中线，常常采用作倍长中线的辅助线，这样创造出全等的三角形，再利用全等三角形的性质。这样达到将分散的条件集中在一个三角形中的目的，使问题向着可以解决的方向转化。
证明：延长AD到E，使DE=AD，连结BE，
延长A'D'到E'，使D'E'=A'D'，连结B'E'
∵AD=A'D'(已知)∴DE=D'E'（等量代换）
∵D为BC中点，D'为B'C'中点（已知）
∴BD=DC，B'D'=D'C'（线段中点定义）
在△ACD和△EBD中 在△A'C'D'和△E'B'D'中
∵ ∵
∴△ACD≌△EBD（SAS） ∴△A'C'D'≌△E'B'D'（SAS）
∴AC=BE(全等三角形对应边相等)
∴A'C'=B'E'(全等三角形对应边相等)
∴∠E=∠5(全等三角形对应角等)
∴∠E'=∠6（全等三角形对应角等）
∵AC=A'C'(已知)
∴BE=B'E'(等量代换)
∴2AD=AE，2A'D'=A'E'(等式性质)
∴AE=A'E'(等量代换)
在△ABE和△A'B'E'中
∵
∴△ABE≌△A'B'E'(SSS)
∴∠7=∠8
∴∠E=∠E'(全等三角形的对应角相等)
又∵∠E=∠E'（已证）∠E=∠5，∠E'=∠6(已证)
∴∠5=∠6（等量代换）
∵∠7=∠8（已证）
∴∠7+∠5=∠8+∠6（等式性质）
即∠BAC=∠B'A'C'
在△BAC和△B'A'C'中
∵
∴△BAC≌△B'A'C' (SAS)
∴BC=B'C'
三、辅助线的做法： 在全等三角形这部分的证明中，已经开始需要添加辅助线，添加辅助线的基本思想就是添加辅助线，构造全等三角形，现在我们介绍一些添加辅助线的方法，供大家学习。
1、按照“中心对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。
把一个三角形绕着它的一个顶点旋转180°，得到另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三角形(或者说，把一个三角形绕着某一个点旋转180°后 ，得到了另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三角形)．如下列基本图形。
说明：当几何问题中出现两条相等的线段在一组对顶角的两边且成一直线时，就可以添加中心对称型的全等三角形进行证明，添加的方法是过端点作平行线．或者按照上边的例题5的方法，截取相等的线段。
例析：如图，已知ΔABC中，AB＝AC，BD=CF．求证：DE＝EF．
分析一 这个题目要证明的结论是DE=EF．如图所示，这就出现了相等两线段在一组对顶角的两边，而且成一直线，在这种情况下，就可以添加一对中心对称型的全等三角形进行证明。添加的方法是过D作DG//AC，交BC于G，如图所示，那么ΔDGE和ΔFCE就一定是一对中心对称型的全等三角形。要证明这两个三角形全等就应抓住一组边相等的条件，而DE=EF是结论不能用，需要证明另一组边。
已知条件告诉我们CF=BD，所以就应该证明CF和它的对应边DG相等，如图所示，也就是证明DB=DG，而DG//AC，所以∠1=∠2，又已知AB=AC，所以∠2=∠B，因此∠1=∠B，那么DB=DG就可以证明了。
证明一：过D作DG//AC交BC于G。
∵DG//AC
∴∠1=∠2；∠3=∠4
∵AB=AC(三角形ABC为等腰三角形)
∴∠B=∠2
∴∠1=∠B，∴DG=DB=CF
在△DGE、△FCE中
∴△DGE≌△FCE
∴DE=EF
分析二：如下图所示，本题也可以过端点F作FH//AB交BC的延长线于H，补出一对中心对称型全等ΔBDE和ΔHFE。
证明二提示:与上一种证法基本一致,通过证明△EFH≌△EDB来证得DE=EF,注意使用BD//FH,推出角的关系.证明略.
说明：等腰三角形的两底角相等 ，在小学学过，今后还要研究。
2、按照“轴对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。
把一个三角形沿着某一条直线翻转后与另一个三角形重合，那么这一对三角形就叫做轴对称型全等三角形。
基本图形：
当几何问题中出现两条相等的线段或两个相等的角关于某一线段或直线成轴对称时，就可以构造轴对称型的全等三角形进行证明。
例析：如图，在正方形ABCD的对角线AC上截取AE=AB，作EF⊥AC交BC于F。求证：EF=FB.
分析：本题目要证明的结论EF=FB。本题目已知中有AE=AB，又有∠AEF=∠B=90°，所以，连接AF构造△AEF、△ABF全等，容易证明。
证明：连接AF，在正方形ABCD中，∠B=90°，
∵ EF⊥AC
∴ ∠AEF=90°
在RT△AEF、RT△ABF中，
AE=AB
AF=AF
∴ RT△AEF≌RT△ABF (HL)
∴EF=BF.
热心网友
时间：2023-09-14 14:42
题海战术一定不行，换个题目你还是不懂，关键是要有思路，培养思路做题也是要的，网上很多。做完题目后要复习，你刚做完很懂，但过几天肯定忘，所以要复习。
初3的2次函数大题更难，现在得抓紧才行
以上全部自己经验，希望对你有帮助
