（2014?孝感一模）如图，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D、E、F作BC、AC、AB的垂线，得

发布网友发布时间：2022-04-29 02:46

共1个回答

热心网友时间：2023-10-08 09:43

解：如答图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．
由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．
不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．
如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=

1

2

SF=

1

2

a，
在Rt△RMF中，RM=MF?tan30°=

1

2

a×

3

3

=

3

6

a，
∴S_△RSF=

1

2

a?

3

6

a=

3

12

a²．
过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，
则AN=AD?sin30°=

1

2

x，SD=2ND=2ADcos30°=

3

x，
∴S_△ADS=

1

2

SD?AN=

1

2

?

3

x?

1

2

x=

3

4

x²．
∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和=3S_△RSF=3×

3

12

a²=

3

4

a²，
∴S_△RPQ=S_△ADS+S_△CFT+S_△BEW=3S_△ADS，
∴

3

3

=3×

3

4

x²，得x²=

4

9

，
解得x=

2

3

或x=

2

3

（不合题意，舍去）
∴x=

2

3

，即AD的长为

2

3

．
故选B．

热心网友时间：2023-10-08 09:43

解：如答图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．
由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．
不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．
如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=

1

2

SF=

1

2

a，
在Rt△RMF中，RM=MF?tan30°=

1

2

a×

3

3

=

3

6

a，
∴S_△RSF=

1

2

a?

3

6

a=

3

12

a²．
过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，
则AN=AD?sin30°=

1

2

x，SD=2ND=2ADcos30°=

3

x，
∴S_△ADS=

1

2

SD?AN=

1

2

?

3

x?

1

2

x=

3

4

x²．
∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和=3S_△RSF=3×

3

12

a²=

3

4

a²，
∴S_△RPQ=S_△ADS+S_△CFT+S_△BEW=3S_△ADS，
∴

3

3

=3×

3

4

x²，得x²=

4

9

，
解得x=

2

3

或x=

2

3

（不合题意，舍去）
∴x=

2

3

，即AD的长为

2

3

．
故选B．

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