间断点类型的判断具体是怎样的？
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发布时间：2022-04-20 03:55
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时间：2022-07-12 07:46
分母在x=0、x=1、x=-1这三个点时，分母为0，所以这三个点是其间断点。
分母中有个|x|，这就是个关键点。因为|x|在x大于0和x小于0的时候，是不同的表达式。当x＞0时，|x|=x，当x＜0时，|x|=-x
所以f（x）在x＞0和x＜0的时候，有不同的表达式。因此从x＜0方向趋近于0（x=0时的左极限）和从x＞0的方向趋近于0（x=0时的右极限）需要用不同的表达式。所以左右极限可能会不一致。
但是因为分子也有x这个因式（分子x²-x=x（x-1）），所以无论是x＞0还是x＜0，分子分母的x在求极限时，都可以约去。所以x=0这点有左右极限，但左右极限不相等，是跳跃间断点，属于第一类间断点。
x=1时，在x=1附近，x都是正数，|x|表达式不变，就是x，所以f（x）在x=1左右表达式不变。所以这个点的左右极限情况相同，如果有，左右极限相等；如果一个无，另一个也无。
而分子分母都有x-1这个因式，可以约去。所以左右极限存在且相等，是可去间断点，属于第一类间断点。
x=-1这个点附近x都是负数，所以f（x）在x=-1附近表达式不变，因为x趋近于-1时，分母极限为0，分子极限不是0，所以极限是无穷大，是无穷间断点，属于第二类间断点。
设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：
（1）函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)；
（2）函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在；
（3）函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。
则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。
扩展资料：
间断点分为可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点、震荡间断点，其中可去间断点和跳跃间断点属于第一类间断点。
在第一类间断点中，有两种情况。左右极限相等，但不等于该点函数值f(x0)或者该点无定义时，称为可去间断点，如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处；左右极限在该点不相等时，称为跳跃间断点，如函数y=|x|/x在x=0处。
间断点几种常见类型：
1 可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。
2 跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。
3 无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。
4 振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。
5 可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。
由上述对各种间断点的描述可知，函数f(x)在第一类间断点的左右极限都存在，而函数f(x)在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在，这也是第一类间断点和第二类间断点的本质上的区别。
热心网友
时间：2022-07-12 07:47
函数f(x)在第一类间断点的左右极限都存在，而函数f(x)在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在，这也是第一类间断点和第二类间断点的本质上的区别。
1、可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=（x²-1)/(x-1)在点x=1处。
2、跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。
3、无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。
4、振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。
5、可去间断点和跳跃间断点为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点为第二类间断点。
扩展资料
有间断点的函数
1、狄利克雷函数
在定义域R上每一点x为第二类间断点。
2、函数
仅在点x=0连续，x≠0时为第二类间断点。
3、整数部函数y=[x]，与小数部函数y=x-[x]，都是在x为整数时为第一类不可去间断点，在这些点仍是右连续的。
4、黎曼函数
在每一个无理点都连续，而在异与零的有理点都不连续。
5、函数
在点x=0附近函数振荡而无极限，x=0为它的第二类间断点。
6、函数
在点x=0为可去间断点，并且
7、函数
在点x=0为可去间断点。
8、函数
在点x=0为第二类间断点。
参考资料来源：百度百科-间断点及其分类
参考资料来源：百度百科-间断点
热心网友
时间：2022-07-12 07:47
分母在x=0、x=1、x=-1这三个点时，分母为0，所以这三个点是其间断点。
你看，分母中有个|x|，这就是个关键点。因为|x|在x大于0和x小于0的时候，是不同的表达式。当x＞0时，|x|=x，当x＜0时，|x|=-x
所以f（x）在x＞0和x＜0的时候，有不同的表达式。因此从x＜0方向趋近于0（x=0时的左极限）和从x＞0的方向趋近于0（x=0时的右极限）需要用不同的表达式。所以左右极限可能会不一致。但是因为分子也有x这个因式（分子x²-x=x（x-1）），所以无论是x＞0还是x＜0，分子分母的x在求极限时，都可以约去。所以x=0这点有左右极限，但左右极限不相等，是跳跃间断点，属于第一类间断点。
x=1时，在x=1附近，x都是正数，|x|表达式不变，就是x，所以f（x）在x=1左右表达式不变。所以这个点的左右极限情况相同，如果有，左右极限相等；如果一个无，另一个也无。而分子分母都有x-1这个因式，可以约去。所以左右极限存在且相等，是可去间断点，属于第一类间断点。
x=-1这个点附近x都是负数，所以f（x）在x=-1附近表达式不变，因为x趋近于-1时，分母极限为0，分子极限不是0，所以极限是无穷大，是无穷间断点，属于第二类间断点。
这样子，不需要具体计算，直接目测就能判断了。追问怎么知道左右极限是否存在？
追答这个式子无论趋近于任何数（只要不是无穷大），分子分母就必然存在极限，其极限就是对应的函数值。所以如果使得分子和分母的极限是非0的实数，那么极限必然存在。
那么什么时候左右极限不存在呢？分子极限是非0的实数，分母极限是0，那么这时候左右极限就是无穷大，就是不存在了。
所以你先看什么时候，分母的极限是0，也就是说当x取什么值的时候，分母等于0（这时候依据初等函数定义域内连续的原理），然后看这些使分母等于0的点，能不能使分子也等于0，如果这些点使得分子不等于0，例如这个题目中的x=-1，那么极限就不存在。
如果这些点使得分子极限也为0，那么就使用约分、等价无穷小等方法把等于0的因式约去后，再按照上面的去做。
热心网友
时间：2022-07-12 07:48
