如图，四棱锥中，底面ABCD是菱形，SA=SD= 39 ， AD=2 3 ，且S-AD-B大小为120
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发布时间：2022-04-27 03:29
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时间：2023-11-18 11:40
∥
BD交CD的延长线于点O，连接BO交AD于点E，再连接OS，
∴∠SAO是异面直线SA与所成的角．…（2分）
∵OABD是平行四边形，∴E是AD的中点．
∵SA=SD=
39
，∴SE⊥AD，
又∵底面ABCD是菱形，并且∠DAB=60°，
∴BE⊥AD，
∴∠SEB是二面角S-AD-B的平面角，即∠SEB=120°，
∴∠SEO=60°．…（4分）
∵SA=SD=
39
，
AD=2
3
，
∴SE=6，OE=BE=3，
∴在△SEO中由余弦定理可得：
S
O
2
=S
E
2
+O
E
2
-2SE?OE?cos60°?SO=3
3
．
在△SOA中，
SO=3
3
，SA=
39
，OA=2
3
，S
O
2
+O
A
2
=S
A
2
?SO⊥OA
，
∴tan∠SAO=
OS
OA
=
3
3
2
3
=
3
2
；…（6分）
所以异面直线SA与BD所成角的正切值为
3
2
．
（2）在△SOE中，
SO=3
3
，SE=6，OE=3，S
O
2
+O
E
2
=S
E
2
?SO⊥OE
由（1）可得：在△SOA中，SO⊥OA，
∴SO⊥平面ABCD，SO?平面SOC
故平面SOC⊥平面ABCD，…（8分）
过A作AF⊥OD，
∴AF⊥平面SOD，
作AN⊥SD，并且交SD与点N，连FN，
∴由三垂线定理可得：FN⊥SD，
∴根据二面角的平面角的定义可得：∠FNA为二面角A-SD-O的平面角…（10分）
由题意可得：AF=ADsin60°=3，
在△SAD中根据等面积可得：
1
2
×AD×SE=
1
2
×SD×AN
，即
1
2
×2
3
×6=
1
2
×
39
×AN
，
所以
AN=
12
3
39
=
12
13
13
，
所以sin∠FNA=
AF
AN
=
3
12
13
13
=
13
4
．
故二面角A-SD-C的大小为
π-arcsin
13
4
．…（12分）
...展开
（1）过A作AO
∥
BD交CD的延长线于点O，连接BO交AD于点E，再连接OS，
∴∠SAO是异面直线SA与所成的角．…（2分）
∵OABD是平行四边形，∴E是AD的中点．
∵SA=SD=
39
，∴SE⊥AD，
又∵底面ABCD是菱形，并且∠DAB=60°，
∴BE⊥AD，
∴∠SEB是二面角S-AD-B的平面角，即∠SEB=120°，
∴∠SEO=60°．…（4分）
∵SA=SD=
39
，
AD=2
3
，
∴SE=6，OE=BE=3，
∴在△SEO中由余弦定理可得：
S
O
2
=S
E
2
+O
E
2
-2SE?OE?cos60°?SO=3
3
．
在△SOA中，
SO=3
3
，SA=
39
，OA=2
3
，S
O
2
+O
A
2
=S
A
2
?SO⊥OA
，
∴tan∠SAO=
OS
OA
=
3
3
2
3
=
3
2
；…（6分）
所以异面直线SA与BD所成角的正切值为
3
2
．
（2）在△SOE中，
SO=3
3
，SE=6，OE=3，S
O
2
+O
E
2
=S
E
2
?SO⊥OE
由（1）可得：在△SOA中，SO⊥OA，
∴SO⊥平面ABCD，SO?平面SOC
故平面SOC⊥平面ABCD，…（8分）
过A作AF⊥OD，
∴AF⊥平面SOD，
作AN⊥SD，并且交SD与点N，连FN，
∴由三垂线定理可得：FN⊥SD，
∴根据二面角的平面角的定义可得：∠FNA为二面角A-SD-O的平面角…（10分）
由题意可得：AF=ADsin60°=3，
在△SAD中根据等面积可得：
1
2
×AD×SE=
1
2
×SD×AN
，即
1
2
×2
3
×6=
1
2
×
39
×AN
，
所以
AN=
12
3
39
=
12
13
13
，
所以sin∠FNA=
AF
AN
=
3
12
13
13
=
13
4
．
故二面角A-SD-C的大小为
π-arcsin
13
4
．…（12分）
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