设A是实矩阵．证明：（Ⅰ）ATAx=0与Ax=0是同解方程组；（Ⅱ）秩（ATA）=秩（A）
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发布时间：2022-04-27 08:34
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时间：2023-09-14 19:22
证明：
（I）
若x0是Ax=0的解，即：Ax0=0，
显然：ATAx0＝AT(Ax0)＝0，
即x0是ATAx=0的解；
反之，设x0是ATAx=0的解，即ATAx0=0，则：
x0TATAx0＝0；
即(Ax0)TAx0＝0；
从而：|Ax0|2＝(Ax0，Ax0)＝(Ax0)TAx0＝0；
于是：Ax0=0，即x0是Ax=0的解；
故：ATAx=0与Ax=0是同解方程组。
（II）
由（I）知ATAx=0与Ax=0是同解方程组，
因而两者的解空间维数相同，
又解空间的维数=未知数的个数-系数矩阵的秩
从而：r（ATA）=r（A）。
扩展资料：
矩阵的秩
引理，设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。
定理，矩阵的行秩，列秩，秩都相等。
定理，初等变换不改变矩阵的秩。
定理，矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。
当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。
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时间：2023-09-14 19:23
（I）
若x0是Ax=0的解，即：Ax0=0，
显然：ATAx0＝AT(Ax0)＝0，
即x0是ATAx=0的解；
反之，设x0是ATAx=0的解，即ATAx0=0，则：
x0TATAx0＝0，
即(Ax0)TAx0＝0，
从而：|Ax0|2＝(Ax0，Ax0)＝(Ax0)TAx0＝0，
于是：Ax0=0，即x0是Ax=0的解，
故：ATAx=0与Ax=0是同解方程组．
（II）
由（I）知ATAx=0与Ax=0是同解方程组，
因而两者的解空间维数相同，
又解空间的维数=未知数的个数-系数矩阵的秩
从而：r（ATA）=r（A）．
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时间：2023-09-14 19:23
这个证明与其他几个证明不同，其他证明都有点问题，都只会复制粘贴，下面加粗的表示是矩阵或者列向量
证明：
(1)
若x0是Ax=0的解，即：Ax0=0，
显然：ATAx0＝AT(Ax0)＝0，
即x0是ATAx=0的解；
反之，设x0是ATAx=0的解，即ATAx0=0，则：
x0TATAx0＝0(注意，这里的0是数字，不是向量)，
即(Ax0)TAx0＝0，（Ax0又不是方阵，不能计算行列式|Ax0|，其他证明主要是这里有问题）
应该设Ax=[a1,a2,a3....]T（列向量）
(Ax0)T(Ax0)=a1^2+a2^2+a3^2+....=0，所以a1=a2=a3=ai=0。
所以Ax0=0，x0为Ax=0的解
故：ATAx=0与Ax=0是同解方程组。
（2）
由（1）知：ATAx=0与Ax=0是同解方程组，因而两者的解空间维数相同，
又 解空间的维数=未知数的个数-系数矩阵的秩
从而：r（ATA）=r（A）
