泛函分析学习心得体会
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发布时间：2022-04-19 23:22
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时间：2022-05-17 11:50
在学习《泛函分析》的前一个学期先学习了《实变函数论》，《实变函数论》这部分主要学习了集合及其运算、集合的势、n维空间中的点集、外测度与可测集、可测集的结构、可测函数、空间等内容，这为这学期学习《泛函分析》打下了扎实的基础.我们在这个学期的期中之前学习的《泛函分析》的主要内容包括线性距离空间、距离空间的完备性、内积空间、距离空间中的点集、不动点定理、有界线性算子及其范数等.下面我谈谈对第一章的距离空间中部分内容的理解与学习：
第一章第一节学习了线性距离空间，课本首先给出了线性空间的定义及其相关内容，这与高等代数中线性空间是基本一样的，所以学起来比较容易.接着是距离空间的学习，如果将n维欧氏空间中的距离“抽象”出来，仅采用性质，就可得到一般空间中的距离概念：
1.距离空间（或度量空间）的定义：
设为一集合，是到的映射，使得使得，均满足以下三个条件：
（1），且当且仅当（非负性）
（2）（对称性）
（3）（三角不等式），
则称为距离空间（或度量空间），记作，为两点间的距离.
学习了距离空间定义后，我们可以验证：欧式空间，离散度量空间，连续函数空间，有界数列空间，次幂可和的数列空间，次幂可积函数空间，均满足距离空间的性质.
2.距离空间的完备性
设是距离空间（或赋范空间），如果中的点列满足
则称是中的基本列（或列），若中任意基本列都在中收敛，则称是完备的距离空间（或赋范空间）.
在上学期学习《实变函数论》时我们已讨论过空间的完备性，除此之外，我们可知道按距离是完备的、是完备的.
第一章第三节的内容是内积空间，与高等代数中的欧式空间类似，但又不一样，在n维欧式空间中，向量的“夹角”是利用内积来定义的.两个向量的夹角指的是，其中是与的内积，是的模或长度，它等于.如果抛开中内积的具体形式，将其性质抽象出来，就可得到抽象空间上的内积概念：
设是复数域上的线性空间，是到复数域的二元函数，使得对任意满足：
(1)
(2)
(3)
(4)
则称为上的内积，称为具有内积的内积空间，也记为.
在学习了内积空间的定义后，我们知道若在上定义
则是内积空间.还有其他的内积空间需要我们去探究和研究.
以上是我对本学期学习的《泛函分析》的一小部分内容的理解，学习了《泛函分析》后发现这是一门很值得学习和研究的课程，同时是一门相对比较深奥的课程，需要我们更用心去学习.这门课程与其他数学学科有密切的联系，但又有本质的区别，我会在日后更加努力认真学习，去研究和探究其与其他学科的联系与区别，希望能运用《泛函分析》的知识和观点去解决其他学科的问题.
