如何证明这三个数是无理数?

发布网友发布时间：2022-04-29 22:21

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热心网友时间：2022-06-24 10:36

1.假设5^(1/3)-3^(1/3)是有理数,则存在整数m,n使得
5^(1/3)-3^(1/3)
=
m/n
5^(1/3)
=
m/n
+
3^(1/3)
等式两边立方
5
=
m^3/n^3
+
3
+
3*m^2/n^2*
3^(1/3)
+
3*m/n*3^(2/3)
整理
2-m^3/n^3
=
3*m^2/n^2*
3^(1/3)
+
3*m/n*3^(2/3)
容易证明3^(1/3)是无理数
上述等式一边是无理数,一边是有理数矛盾
因此假设不成立,原式为无理数
2.ln2
=
lg2/lge
e是超越数,超越数的代数式依然是超越数,因此lge是超越数,因此lge是无理数
因此ln2是无理数
3.2^(1/2)是无理数.
又有理数的无理数次幂是无理数
因此2^(2^(1/2))是无理数

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