三角形的重心在哪?
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发布时间：2023-02-13 09:50
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时间：2023-01-22 23:38
重心是三角形中线的交点的交点。
数学上的重心是指三角形的三条中线的交点，其证明定理有燕尾定理或塞瓦定理，应用定理有梅涅劳斯定理、塞瓦定理。
燕尾定理或塞瓦定理的证明：
已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。
证明1：燕尾定理：
S（△AOB）=S（△AOC），
又S（△AOB）=S（△BOC），
∴S（△AOC）=S（△BOC），
再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
证明2：塞瓦定理：
如图1，在△ABC中，AD、BE、CF是中线，
则AF=FB，BD=DC，CE=EA。
∵（AF/FB）*（BD/DC）*（CE/EA）=1
∴AD、BE、CF交于一点
即三角形的三条中线交于一点。
重心性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。
5、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6、三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则3PG²=(AP²+BP²+CP²)-1/3(AB²+BC²+CA²)。
7、在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP+AC/AQ=3
8、从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(AB²+BC²+CA²)为半径的圆周上。
9、G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA²+PB²+PC²=GA²+GB²+GC²+3PG²。
重心确定方法：
对于均质物体，如在几何形体上具有对称面、对称轴或对称中心，则该物体的重心或形心必在此对称面、对称轴或对称中心上。下面介绍几种常用的确定重心位置的方法。
1、组合法：工程中有些形体虽然比较复杂，但往往是由一些简单形体的组合，这些形体的重心通常是已知的或易求的。
2、负面积法：如果在规则形体上切去一部分，例如钻一个孔等，则在求这类形体的重心时，可以认为原形体是完整的，只是把切去的部分视为负值（负体积或负面积）。
3、实验法（平衡法）：如物体的形状不是由基本形体组成，过于复杂或质量分布不均匀，其重心常用实验方法来确定。主要包括悬挂法和称重法。
重心的应用：
1、 数学应用：分为求线段长、求面积。
求线段长：
例1：如图所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则GE的长度。
解：Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6 ∴AB=BC=12
D是斜边AB的中点，∴CD=1/2AB=6
G是Rt△ABC的重心，∴CG=2/3CD=4
由CD=AD，∠A=30°，∠GCE=30°
Rt△GCE中，∠GCE=30°，CG=4，∴GE=1/2CG=2
求面积：
例2：在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，如图，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积。
解：∵O是△ABC的重心，∴AO∶OD=2∶1
∴S△AOB∶S△BOD=2∶1，即S△AOB=2 S△BOD=10
∴S△ABD= S△AOB+ S△BOD=10+5=15
又∵AD是△ABC的中线， S△ABC=2 S△ABD=30
2、工程应用：
重心在工程中具有重要的意义。例如，水坝的重心位置关系到坝体在水压力作用下能否维持平衡；飞机的重心位置设计不当就不能安全稳定地飞行；构件截面的重心（形心）位置将影响构件在载荷作用下的内力分布规律，与构件受力后能否安全工作有着紧密的联系。总之，重心与物体的平衡、物体的运动以及构件的内力分布是密切相关的。
