微分,变分,差分的确切定义与区别
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发布时间：2022-04-23 18:52
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时间：2023-10-13 18:27
微分是差分的线性部分，δy=y(x+δx)-y(x)=y'(x)δx+....=y'(x)dx+....
自变量的差分就是微分，也就是δx=dx
微分：
在数学中，微分是对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的变化量取值作足够小时，函数的值是怎样改变的。比如，x的变化量△x趋于0时，则记作微元dx。
当某些函数的自变量有一个微小的改变时，函数的变化可以分解为两个部分。一个部分是线性部分：在一维情况下，它正比于自变量的变化量△x，可以表示成△x和一个与△x无关，只与函数及有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在△x上的值。另一部分是比△x更高阶的无穷小，也就是说除以△x后仍然会趋于零。当改变量很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在x处的微分，记作df(x)或f'(x)dx。如果一个函数在某处具有以上的性质，就称此函数在该点可微。
不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微，便称函数在该点不可微。
在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变量的改变量映射到变化量的线性部分的线性映射。这个映射也被称为切映射。给定的函数在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。
差分：
差分又名差分函数或差分运算，是数学中的一个概念。它将原函数f(x)
映射到f(x+a)-f(x+b)
。差分运算，相应于微分运算，是微积分中重要的一个概念。差分的定义分为前向差分和逆向差分两种。
在社会经济活动与自然科学研究中,我们经常遇到与时间t有关的变量,而人们往往又只能观察或记录到这些变量在离散的t时的值。对于这类变量,如何去研究它们的相互关系,就离不开差分与差分方程的工具。微积分中的微分与微分方程的工具,事实上来源于差分与差分方程.因此差分与差分方程更是原始的客观的生动的材料。
读者熟悉等差数列：a1
a2
a3……an……，其中an+1=
an
+
d（
n
=
1,2,…n
）d为常数，称为公差，
即
d
=
an+1
-an
,
这就是一个差分,
通常用d(an)
=
an+1-
an来表示，于是有d(an)=
d
,
这是一个最简单形式的差分方程。
定义.
设变量y依赖于自变量t
,当t变到t
+
1时,因变量y
=
y(t)的改变量d
y(t)=
y(t+1)
-
y(t)称为函数y(t)在点t处步长为1的(一阶)差分,常记作d
yt=
yt+1-
yt
,简称为函数y(t)的(一阶)差分,并称d为差分算子。
