万能公式是如何推导的?

发布网友发布时间：2022-04-23 00:51

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热心网友时间：2023-09-28 05:27

由余弦定理：a^2+b^2-c^2-2abcosC=0

正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

得（sinA）^2+（sinB）^2-（sinC）^2-2sinAsinBcosC=0

转化 1-(cosA）^2+1-(cosB）^2-[1-(cosC）^2]-2sinAsinBcosC=0

即 (cosA）^2+(cosB）^2-(cosC）^2+2sinAsinBcosC-1=0

又 cos（C）=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB

得 (cosA）^2+(cosB）^2-(cosC）^2+2cosC[cos（C）+cosAcosB]-1=0

(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC

扩展资料：

设tan(A/2)=t

sinA=2t/(1+t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z）

tanA=2t/(1-t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z）

cosA=(1-t^2)/(1+t^2) （A≠2kπ+π k∈Z）

就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)来表示；当要求一串函数式最值的时候,就可以用万能公式,推导成只含有一个变量的函数,最值就很好求了。

热心网友时间：2023-09-28 05:27

【释义】：应用公式sinα=[2tan(α/2)]/{1+[tan(α/2)]^2} 　　
cosα=[1-tan(α/2)^2]/{1+[tan(α/2)]^2} 　　
tanα=[2tan(α/2)]/{1-[tan(α/2)]^2} 　　
将sinα、cosα、tanα代换成tan（α/2）的式子，这种代换称为万能置换。　　
【推导】：（字符版）　　
sinα=2sin(α/2)cos(α/2)=[2sin(α/2)cos(α/2)]/[sin(α/2)^2+cos(α/2)^2]=[2tan(α/2)]/[1+(tanα/2)^2] 　　cosα=[cos(α/2)^2-sin(α/2)^2]=[cos(α/2)^2-sin(α/2)^2]/[sin(a/2)^2+cos(a/2)^2]=[1-tan(α/2)^2]/[1+(tanα/2)^2] 　　tanα=tan[2*(α/2)]=2tan(α/2)/[1-tan(α/2)^2]

参考资料：http://ke.baidu.com/view/736.htm