特征向量的分解定理

所有这些结果在一定程度上利用了特征值和特征向量。下面列出了一些这样的结果：舒尔三角形式表明任何酉矩阵等价于一个上三角矩阵；奇异值分解定理， A = UΣV * 其中Σ为对角阵，而U,V为酉矩阵。A = UΣV * 的对角线上的元素非负，而正的项称为A的奇异值。这对非正方形矩阵也成立；若当标准...

基于若当分解，任何矩阵A可以表示为A = S + N，其中S是对角化的，N是幂零矩阵（即存在某个q，使得Nq=0），且S与N可以交换。这展示了特征向量和幂零矩阵在矩阵分解中的独特作用。最后，对于可逆矩阵A，有唯一的分解形式A = SJ，其中S是对角化的，J是幂等矩阵（其特征多项式为(λ-1)的幂），...

由代数基本定理，特征方程有 N 个解。这些解的解集也就是特征值的集合，有时也称为“谱”（Spectrum）。我们可以对多项式 p 进行因式分解，而得到其中 对每一个特征值 λi ，我们都有下式成立：对每一个特征方程，都会有（）个线性无关的解。这 mi 个向量与一个特征值 λi 相对应。这里，整数...

从定义出发，Ax=cx：A为矩阵，c为特征值，x为特征向量。矩阵A乘以x表示，对向量x进行一次转换（旋转或拉伸）（是一种线性转换），而该转换的效果为常数c乘以向量x（即只进行拉伸）。通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量（当然是特征向量）只发生拉伸，使其发生拉伸的程度如何（特征值...

谱分解定理是线性代数中的一个重要定理，它指出对于一个对称矩阵，可以将其分解为特征值和特征向量的乘积形式。具体而言，对于一个n阶对称矩阵A，存在一个正交矩阵P和一个对角矩阵D，使得A = PDP^T，其中D的对角线上的元素是A的特征值，P的列向量是A的特征向量。这个定理在矩阵的对角化、矩阵的性质...

如果a特征值为λ,则a*的特征值为|a|λ.由给定的矩阵可知a的特征值为5,-1,-1 所以|a|=5 故a*的特征值为 1，-5，-5 特征向量就是对应于a的特征向量。

此定理的证明过程蕴含两个关键环节。首先，对称矩阵的特征值皆为实数，且其特征向量亦为实数向量。其次，当存在n个线性无关的特征向量时，矩阵能实现对角化，即存在分解S=QΛQT。实对称矩阵具有唯一性，其特征值必定为实数。证明此点需从对称矩阵的性质出发，即其特征值与其特征向量间的线性关系。对称...

谱分解定理是线性代数中的一个重要定理，它指出对于一个可相似对角化的矩阵A，可以将其分解为特征值和特征向量的表示形式。如果矩阵A可以相似对角化，即存在一个可逆矩阵P和对角矩阵D，使得A=PDP^（-1），其中D是由A的特征值构成的对角矩阵，P的列向量是A的特征向量，那么谱分解定理就适用。并非所有...

解：求特征值：根据|λE-E|=0 所以（λ-1）^n=0 所以λ1=λ2=λ3=...=λn=1 对应的特征向量为：（1，0，0，...0）T (0，1，0，...0) T... (0，0，0，...1)T

首先，实对称矩阵一定可以正交对角化，也就是说存在正交阵Q和对角阵D使得A=QDQ^T，这个结论叫谱分解定理，是实对称阵最深刻的性质。另一方面，实对称阵属于不同特征值的特征向量一定正交，这个可以直接验证，也可以从谱分解得到。回到你的问题，u2和u3是两重特征值，并且一定有两个线性无关的特征向量...