初三了,我需要数学二次函数的笔记

发布网友发布时间：2022-04-22 23:09

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热心网友时间：2023-10-08 16:43

１．二次函数的定义：一般地，形如y = ax2 + bx + c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做　　　二次函数．（１）二次函数的结构特征：①等号的左边是函数y，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．②a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.根据二次函数的定义判断是否是二次函数，要抓住二次项系数不为零这个关键．例1、下列函数中，不是二次函数的是（）（A）；（B）；（C）；（D）２．二次函数的特殊形式：（１）y = ax2 （２）y = ax2 + bx （３）y = ax2 + c二次函数含有三个系数a、b、c，一般地给出x、y的三组对应值就可以确定a、b、c的数值。3．根据二次函数定义确定字母的值例2、如果函数是二次函数，求常数m的值。例3、已知二次函数，（1）当m为何值时，此函数为二次函数；（2）当m为何值时，此函数为一次函数. 4．确定实际问题中的二次函数表达式例4、一个长方形的周长是50cm，一边长是xcm，这个长方形的面积为ycm2.（1）试写出y与x的函数解析式；（2）y是x的二次函数吗？为什么？例5、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现：这种商品的日销量m（件）与每件商品的销售价x（元）满足一次函数关系m = 162 – 3x.试写出商场销售这种商品的日销售利润y（元）与每件商品的销售价x（元）之间的函数关系，并判断它是二次函数吗？ 1．二次函数的一般式是____________________________，它的定义域是_______________；利用配方法可以把二次函数的一般式改写成顶点式为____________________________。例、抛物线 y = 3x2 –（a – 1）x + a + 1和抛物线 y = 2x2 +（2b – 1）x – 2b的顶点相同，则它们的顶点坐标为__________________.2．二次函数的图象是______________________________。先将二次函数的一般式化成顶点式；确定图象的开口方向、顶点和对称轴，再确定对称轴两旁的几个点，然后描点作图。例、画出二次函数的图象，并写出此图象的开口方向，顶点坐标，对称轴及与y轴、x轴的交点坐标。 3．二次函数y = a（x + m）2+ k（a≠0）开口方向：_________________________________________________________________；顶点坐标：____________________________；对称轴：___________________________；增减性：_________________________________________________________________；最值：_________________________________________________________________；4．二次函数的各系数的作用：（1）一般式y = ax2 + bx + c（a≠0）中三个系数的作用：a：_________________________________________________________________；b：_________________________________________________________________；c：_________________________________________________________________；b2 – 4ac：_________________________________________________________________；（2）顶点式y = a（x + m）2+ k（a≠0）中三个字母的作用：a：_________________________________________________________________；m：_________________________________________________________________；k：_________________________________________________________________；1－1O 例1、如图是的图象，则① 　　　0； ② 　　　0；③ 　　　　0； ④ 　　　　0； ⑤ _______0；⑥ _______0； ⑦ _______0例2、在同一平面直角坐标系中，一次函数y = ax + b和二次函数y = ax2 + bx的图象可能为（）OxyOxyOxyOxy
（C）（A）（B）（D）例3、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示, 则点A（a，b）在（）（A）第一象限；（B）第二象限；（C）第三象限；（D）第四象限.例4、已知二次函数y = – x2 +（m – 2）x + 3（m + 1）求证：当m≠– 4 时，二次函数的图象与x轴必有两个交点； 5．二次函数的解析式的确定：（1）一般式y = ax2 + bx + c（a≠0）当知道二次函数图象的三点，一般可用一般式例、已知抛物线过点（1，3）、（– 2，– 3）和（3，17），求抛物线的函数解析式。（2）顶点式y = a（x + m）2+ k（a≠0）当知道顶点或对称轴或最值时，一般采用顶点式例、已知二次函数的顶点是A（1，– 4），且过点（4，5），求这个二次函数的解析式；（3）两根式y = a（x – x1）（x – x2）（a≠0）其中x1、 x2是方程ax2 + bx + c = 0的两个解。当知道二次函数的图象与x轴的两个交点时，可用两根式，但结果一般化为一般式或顶点式例、已知一个二次函数的图象经过（– 2，0）、（1，0）、（0，2）三点，则这个二次函数的解析式为__________________________. （4）若已知二次函数图象的对称轴是y轴（直线x = 0），可设二次函数为y = ax2 + k（a≠0）特别地当图象的顶点是原点时，可设二次函数为y = ax2（a≠0）（5）若已知二次函数的顶点在x轴上（或与x轴只有一个交点），可设二次函数为y = a（x + m）2（a≠0）6．抛物线与其他曲线的交点：（1）抛物线y = ax2 + bx + c（a≠0）与y轴有唯一的交点（0，c）；（2）二次函数的对称轴均是平行于（或重合于）y轴的直线。（因此“直线”勿漏），平行于y轴的直线与抛物线只有一个交点，但与抛物线只有一个交点的直线不一定都平行于y轴（3）二次函数与x轴的交点是由决定的，抛物线与x轴的两个交点之间的距离（4）平行于x轴的直线与抛物线有一个交点，这个交点就是顶点，有两个交点，这两个交点的纵坐标相同，并且两点的中垂线为对称轴。即二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）当x取x1、 x2时，函数的值相等，则该函数的对称轴为直线例1、已知二次函数y=2x2+9x+34，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当自变量x取x1+x2时的函数值是_______________________________。例2、抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是__________________。例3、已知抛物线y = ax2 + bx + c（a≠0）的顶点坐标为（3，– 2），且与x轴两交点间的距离为4，则函数的解析式为__________________。（5）抛物线y = ax2 + bx + c（a≠0）当a > 0且时，抛物线在x轴的上方（即函数值都大于零）；当a < 0且时，抛物线在x轴的下方（即函数值都小于零）；（6）二次函数与其他函数的交点坐标即求方程组的解7．建立直角坐标平面，化实际问题为二次函数的问题例1、小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是_________。 O例2、某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直，如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，求水流下落点B离墙距离OB OxyABC例3、如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）有一辆宽3.8米，高3米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？例4、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10 米，入水处距池的距离为4米，同时运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，某运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距为3.6米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。例5、有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为xm，面积为Sm2，求能围成最大的花圃面积是多少？

热心网友时间：2023-10-08 16:43

二次函数 I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x�0�5的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。 V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2;+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。答案补充画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。二次函数解析式的几种形式 (1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0). (2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0). (3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0. 说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点答案补充如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k 定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的函数二次函数的三种表达式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) ②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k ③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3种形式可进行如下转化： ①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交点式的关系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式) 以上为概念