若A,B是实对称矩阵，则A与B有相同的特征值是A与B相似的充分必要条件。为什么？
发布网友
发布时间：2022-08-19 08:49
共2个回答
热心网友
时间：2023-10-23 09:25
1、必要性：
根据定理：相似矩阵有相同的特征值。若矩阵A与矩阵B相似，则矩阵A与矩阵B有相同的特征值。
2、充分性：
因为矩阵A与矩阵B均是实对称矩阵，所以矩阵A与矩阵B均可对角化；
且矩阵A与矩阵B有相同的特征值，所以矩阵A与矩阵B相似于由相同特征值构成的同一个对角矩阵；
所以矩阵A与矩阵B相似。
扩展资料：
矩阵相似的性质：
设A，B和C是任意同阶方阵，则有
1、反身性：A~ A
2、对称性：若A~ B，则 B~ A
3、传递性：若A~ B，B~ C，则A~ C
4、若A~ B，则r(A)=r(B)，|A|=|B|，tr（A）=tr（B）。
5、若A~ B，且A可逆，则B也可逆，且B~ A。
6、若A~ B，则A与B
7、两者的秩相等；
8、两者的行列式值相等；
9、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同；
10、两者拥有同样的特征多项式；
参考资料来源：百度百科-相似矩阵
热心网友
时间：2023-10-23 09:26
反之, 因为A,B是实对称矩阵, 所以A可对角化, 即A,B相似于由特征值构成的同一个对角矩阵, 所以A,B相似.来自：求助得到的回答
