线代题:A的伴随矩阵等于A的转置矩阵,如何证明A是可逆矩阵?
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发布时间：2022-04-23 00:05
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热心网友
时间：2023-10-09 02:32
解：本题利用了可逆矩阵的性质求解。
本题进行证明应当具有一个前置条件A ≠ 0。
故假设n = 2时,设矩阵A =
a b
c d
则伴随矩阵A* =
d -b
-c a
由转置A‘ = A*得a = d,b = -c.
当讨论*为实矩阵,行列式|A| = a²+b² > 0,A可逆.
复矩阵时有反例:
1 i
-i 1
n > 2时,无论在哪个域上,命题总是成立的,证明如下.
若A的秩r(A) < n-1,伴随矩阵A*是由A的n-1阶子式构造,有A* = 0,与A ≠ 0从而转置矩阵A' ≠ 0矛盾。
若r(A) = n-1,由AA* = |A|·E = 0,及不等式r(A)+r(A*)-n ≤ r(AA*),有r(A*) ≤ 1 < r(A) = r(A')。
于是r(A) < n时总有A* ≠ A'.即由A* = A'可推出A可逆。
扩展资料：
1、可逆矩阵一定是方阵。
2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。
4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）
5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。
6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
参考资料来源：百度百科- 可逆矩阵
热心网友
时间：2023-10-09 02:32
条件应该有A ≠ 0吧.
n = 2时, 设A =
a b
c d
则伴随矩阵A* =
d -b
-c a
由转置A‘ = A*得a = d, b = -c.
当讨论*为实矩阵, 行列式|A| = a²+b² > 0, A可逆.
复矩阵时有反例:
1 i
-i 1
n > 2时, 无论在哪个域上, 命题总是成立的, 证明如下.
若A的秩r(A) < n-1, 伴随矩阵A*是由A的n-1阶子式构造, 有A* = 0, 与A ≠ 0从而转置矩阵A' ≠ 0矛盾.
若r(A) = n-1, 由AA* = |A|·E = 0, 及不等式r(A)+r(A*)-n ≤ r(AA*), 有r(A*) ≤ 1 < r(A) = r(A').
于是r(A) < n时总有A* ≠ A'. 即由A* = A'可推出A可逆.
线代题:A的伴随矩阵等于A的转置矩阵,如何证明A是可逆矩阵?
由转置A‘ = A*得a = d,b = -c.当讨论限制为实矩阵,行列式|A| = a²+b² > 0,A可逆.复矩阵时有反例:1 i -i 1 n > 2时,无论在哪个域上,命题总是成立的,证明如下.若A的秩r(A) < n-1,伴随矩阵A*是由A的n-1阶子式构造,有A* = 0,与A ≠ 0从而转置矩阵A'...
求证矩阵A可逆 A不等于0,a的伴随矩阵等于a的转置矩阵,求证a可逆
以A*表示伴随矩阵,A'表示转置矩阵 －－－ 反证法.假设n阶矩阵A不是可逆的,则|A|＝0.A*＝A',则AA'＝AA*＝|A|E,E是单位矩阵.所以AA'＝0.设A的第i行j列元素是aij,则AA'的第k个主对角线元素是∑(akj)^2,j＝1,2,...,n（k＝1,2,...,n）.所以akj＝0（j,k＝1,2,...,n...
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该题目答案是不一定的。对于任意一个n阶方阵a，如果a的伴随等于a的转置，那么行列式的值可能等于0，也可能不等于0。行列式的值与伴随矩阵和转置矩阵没有直接的关系。行列式的值由矩阵的元素所确定，而伴随矩阵和转置矩阵的元素可能完全不同。所以不能根据“a的伴随等于a的转置来推出a的行列式的值”。
A的伴随矩阵等于A的转置矩阵的充要条件是aij=Aij 如何证明?
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a的伴随矩阵等于a的转置矩阵
(A*)^T=|A|[A^(-1)]^T=A*=|A^T|(A^T)^(-1)=(A^T)伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具，伴随矩阵的一些新的性质被不断发现与研究。伴随矩阵的一些基本性质如下：（1） 可逆当且仅当 可逆；（2）如果 可逆，则 ；（3）对于 的秩有...
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1 等于2 因为对于一个矩阵A，其伴随矩阵的行列式等于A的代数余子式，然后再将伴随矩阵转置后，其行列式等于A的行列式，根据行列式的定义可知代数余子式即为转置后的矩阵元素，因此伴随矩阵等于转置后的矩阵。3 此结论适用于所有矩阵，而且这个性质在矩阵的运算中是非常有用的，可以方便地求矩阵的逆等操作...
一道线代题,为什么A的伴随矩阵=A的转置,具体看题图
很简单呀 应为题目不是给了aij=Aij么 A的伴随就是对应项的的代数余子式组成的阵再转置一次 所以就有A的伴随=A转置 （满意记得给满意回答哦 谢了 不会可追问）
怎么判断矩阵可逆不可逆?
1、伴随矩阵法 如果矩阵A可逆，则 的余因子矩阵的转置矩阵。（|A|≠0，|A|为该矩阵对应的行列式的值）A的伴随矩阵为 其中Aij=（-1）i+jMij称为aij的代数余子式。2、初等行变换法 在行阶梯矩阵的基础上，即非零行的第一个非零单元为1，且这些非零单元所在的列其它元素都是0。综上，行最简...
...并且若矩阵A可逆,则A*也可逆A*是指A的伴随矩阵,A'是A的转置_百度知 ...
由 A* = |A|A^-1 得 (A*)' = |A|(A^-1)'对A'也有 (A')* = |A'| (A')^-1 = |A|(A')^-1 而 (A^-1)' = (A')^-1 -- 这个也是性质, 易证 所以 (A*)'=(A')*.
