用二重积分几何意义做?

发布网友 发布时间：2022-08-29 09:41

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热心网友 时间：2023-11-13 20:54

D域由y=√(1-x²)和y=0所围成，在平面直角坐标里，这是园心在原点半径r=1的园的上半部

份；在立体直角坐标里，这是在xoy平面里的园的右半部份。

被积函数z=√(1-x+y)是球心在原点，半径r=1的园球的上半部份。

二重积分的几何意义，就是以上述半圆为底面的1/  4球体的体积;

故I=(1/4)•(4/3)πr³=(1/3)π;

热心网友 时间：2023-11-13 20:54

详细过程如图rt……希望能帮到你

追问我知道可以这样做，但是题目要求用积分几何意义做，这就很纳闷

追答额……

热心网友 时间：2023-11-13 20:55

这个二重积分的几何意义是单位球在第一和第二卦限内的部分的体积，即四分之一个单位球的体积，所以为Pi/3。

热心网友 时间：2023-11-13 20:55

刚刚算了，图片传不上去，用极坐标方程做，先画出积分区域，求出极径和极角的范围，然后换元。dx dy 换为p dp d θ p 为极径，θ为极角，再化为二次积分，先求p 的，再求θ的。最后结果为π/3

热心网友 时间：2023-11-13 20:56

球体积的1/4
令z=根号(1-x^2-y^2)，这是个半球
原积分变成zdxdy，结果为半球体积。由于y只取整数部分，所以结果为球体积的1/4

热心网友 时间：2023-11-13 20:54

D域由y=√(1-x²)和y=0所围成，在平面直角坐标里，这是园心在原点半径r=1的园的上半部

份；在立体直角坐标里，这是在xoy平面里的园的右半部份。

被积函数z=√(1-x+y)是球心在原点，半径r=1的园球的上半部份。

二重积分的几何意义，就是以上述半圆为底面的1/  4球体的体积;

故I=(1/4)•(4/3)πr³=(1/3)π;

热心网友 时间：2023-11-13 20:54

详细过程如图rt……希望能帮到你

追问我知道可以这样做，但是题目要求用积分几何意义做，这就很纳闷

追答额……

热心网友 时间：2023-11-13 20:55

这个二重积分的几何意义是单位球在第一和第二卦限内的部分的体积，即四分之一个单位球的体积，所以为Pi/3。

热心网友 时间：2023-11-13 20:55

刚刚算了，图片传不上去，用极坐标方程做，先画出积分区域，求出极径和极角的范围，然后换元。dx dy 换为p dp d θ p 为极径，θ为极角，再化为二次积分，先求p 的，再求θ的。最后结果为π/3

热心网友 时间：2023-11-13 20:56

球体积的1/4
令z=根号(1-x^2-y^2)，这是个半球
原积分变成zdxdy，结果为半球体积。由于y只取整数部分，所以结果为球体积的1/4