二次函数的应用题几种最基本的解法,求高手,悬赏30分
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发布时间：2022-04-22 23:44
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时间：2022-06-04 00:32
一、分析数量关系型
题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。
此类二次函数应用题解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。
例1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。
（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在图2所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获得最多，是多少？
（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？
析解：（1）若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2(70-x)]千克，每千克获利为(x-30)元。根据题意得（30≤x≤70）。
（2）。顶点坐标为（65，1950），草图略，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。
（3）列式计算得，当日均获利最多时，可获总利195000元；当销售单价最高时，可获总利221500元。故当销售单价最高时获总利较多，且多获利221500-195000=26500元。
二、待定系数法型
题设明确给出两个变量间是二次函数关系，和几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。
此类二次函数应用题解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。
例1． 某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
x（十万元）
0
1
2
…
y
1
1.5
1.8
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
析解：（1）因为题中给出了y是x的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y与x的函数关系式为
（2）由题意得S=10y(3-2)-x
（3）由（2）及二次函数性质知，当1≤x≤2.5，即广告费在10—25万元之间时，S随广告费的增大而增大。
三、构建数学模型型
要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。
这类二次函数应用题问题建模要求高，有一定难度。 例3..某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量 ,y(万件)与销售单价x(元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z(万元)(不含进价)与年销量y(万件)存在函数关系z=10y+42.5.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)度写出该公司销售该种产品年获利w(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式;(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额)当销售单价x为何值时,年获利最大?最大值是多少?
(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围
在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?
.解:(1)由题意,设y=kx+b,图象过点(70,5),(90,3),
∴解得∴y=x+12.
(2)由题意,得w=y(x-40)-z=y(x-40)-(10y+42.5)=(x+12)(x-10)-10(x+12)-42.5
=-0.1x2+17x-642.5=(x-85)2+80.
当85元时,年获利的最大值为80万元.
(3)令w=57.5,得-0.1x2+17x-642.5=57.2.
整理,得x2-170x+7000=0.
解得x1=70,x2=100.
由图象可知,要使年获利不低于57.5万元,销售单价应在70元到100元之间.又因为销售单价越低,销售量越大,所以要使销售量最大,又使年获利不低于57.5万元,销售单价应定为70元.
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时间：2022-06-04 00:32
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时间：2022-06-04 00:33
【剖析：】
问题（1）考查了函数与自变量之间的变化实质，要求学生能够根据数据的变化规律判断出其中蕴含的函数关系。
问题（2）速度增加到180米/秒时，此时已运行了300秒，行驶了27000米，可视为加速阶段的路程，匀速阶段列车以180米/秒行驶了100秒，减速阶段的路程仍等于27000米。
问题（3）中理解“减速过程与加速过程完全相反”是本题的关键，首先要清楚列车的加速过程才能明白与其完全相反的减速过程意味着什么。由（1）可知加速过程反映的函数图像是条抛物线，那么在抛物线的性质中，“完全相反”就意味着形状相同，开口相反，这类的抛物线往往只需要确定出后者的顶点坐标就行了。问题（2）的解决让我们知道列车到完全停车时共行驶了700秒，72000米，所以后者的顶点坐标为（700，72000）。
【略解：】
（1）通过描点、画图或分析表中数据可知v是t的一次函数，s是t的二次函数。
设
v=kt+b，把（0，0），（50，30）代入得
k=3/5
b=0
，
所以v=3t/5（0<=t<=200）
设s=at^2+bt+c
，把（0，0），（50，750），（100，3000）代入得
，
a=3/10
b=c=0
。
所以s=3t^2/10(0<=t<=200)
（2）
当v=180时
3t/5=180
解得t=300秒
此时
s=3t^2/10=27000米。
∵加速阶段的路程＝27000米＝减速阶段的路程；
匀速阶段的路程＝100×180＝18000米，
∴所需轨道的总长为27000+18000+27000＝72（千米）。
∴再建的轨道长度为72－30＝42（千米）。
（3）
当0＜t≤300时，s＝3t^2/10，
当300＜t≤400时，s＝180t－27000，
当400＜t≤700时，s＝-3(t－700)^2+72000
