证明: sin(90/7) + sin(450/7) = sin(270/7) + sin30
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发布时间：2022-08-15 23:57
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时间：2023-09-24 03:08
要用到积化和差，好象是高中公式，不过没要求记忆罢了，自己可推。
另外，强烈建议楼主先化角度为弧度，看完过程就懂弧度制的优点了。。。
过程见图片：（点开，最大化）
热心网友
时间：2023-09-24 03:08
原式即sinx-sin3x+sin5x= 1/2，化成余弦为
cos6x-cos4x+cos2x= 1/2
Let y=2x，上式化成cosy-cos2y+cos3y=1/2
因为7y =π，所以cos(ky)=-cos(7-k)y，由上式得
-cos6y-cos2y-cos4y=1/2
Let z=2y, 上式化成cosz+cos2z+cos3z=-1/2
因为7z=2π，所以cos(kz)=cos(7-k)z，于是可由上式得到
cos6z+cos5z+cos4z=-1/2
两式相加，整理得1+cosz+cos2z+cos3z+ cos4z+cos5z+cos6z=0
这正是分圆方程的实部，以上皆可回逆，故原式成立。
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时间：2023-09-24 03:09
原题即证
sin(270/7)*(2cos(180/7)-1)=0.5
即 cos(360/7)*(2cos(180/7)-1)=0.5
由欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ 得
cosθ=(e^(iθ)+e^(-iθ))/2
代入 左式=0.5*(e^(3/7)iπ+e^(2/7)iπ+e^(1/7)iπ+e^(0/7)iπ+e^(-1/7)iπ+e^(-2/7)iπ+e^(-3/7)iπ)-0.5
对上式用等比数列求和,易得,上式值为0.5
故原式成立.
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时间：2023-09-24 03:10
sinx+sin5x=-sin(x+5x/2)cos(x-5x/2)
=-sin3xcos2x
=sin3x*(-2cos^2x+1)
=sin3x-sin3x*2cos^x
= sin(270/7) + sin30 sin(90/7)+sin(450/7)=2sin(270/7)cos(180/7)
原题即证
sin(270/7)*(2cos(180/7)-1)=0.5
即 cos(360/7)*(2cos(180/7)-1)=0.5
由欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ 得
cosθ=(e^(iθ)+e^(-iθ))/2
代入 左式=0.5*(e^(3/7)iπ+e^(2/7)iπ+e^(1/7)iπ+e^(0/7)iπ+e^(-1/7)iπ+e^(-2/7)iπ+e^(-3/7)iπ)-0.5
对上式用等比数列求和,易得,上式值为0.5
故原式成立.
热心网友
时间：2023-09-24 03:10
sinx+sin5x=-sin(x+5x/2)cos(x-5x/2)
=-sin3xcos2x
=sin3x*(-2cos^2x+1)
=sin3x-sin3x*2cos^x
= sin(270/7) + sin30
这是最好的方法
