定解问题的数值求解

发布网友发布时间：2022-08-23 16:21

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热心网友时间：2024-10-22 09:14

该定解问题采用一阶有限隐式差分方法求解。

（一）计算域的离散化

地面灌溉水流运动波模型模拟计算中，由于水流推进距离或消退距离随时间而变化，所以其上下游边界也在运动，因此计算域的长度位置随计算过程的进行而变化（图7-1）。其上游边界为畦、沟田入口或消退上边界，下游边界为推进峰面或畦田为边，计算单元的个数也不确定，随计算过程而变化。推进阶段计算单元体的个数与计算次数相等，即每计算一次，计算单元增加一个，采取等时间步长计算，所以每个计算单元体的长度不等，分别等于该单元体生成阶段的水流推进距离增量。因此在某个时刻 t，其推进总长度为：

图7-1 矩形计算单元体示意图

水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动

式中，x_i为某计算时刻水流推进距离；x_k为第k个计算时段推进距离增量。

根据各阶段水流特性和边界条件及计算精度要求，采用矩形计算单元体，见图 7-2（a）。

图7-2 截取单元体示意图

（二）差分方程

截取如图7-2（a）、（b）、（c）所示单元体，取计算时间步长为δt，考虑单元体上下游断面的空间权重系数和时间权重系数，将式（7.1）和式（7.2）所表示的连续方程和运动方程离散为差分方程：

图7-2（a）是每个时段中组成右边界的推进峰单元；图7-2（b）是过渡单元，它是前一时段的推进峰作为起始时段，在确定的时间步长内变成矩形单元；图7-2（c）是位于推进峰之后的矩形单元。

在时间间隔t_i-t_i-1内，有以下关系式：

水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动

式中，δt为时段长度，δt=t_i-t_i-1；Q为流过单元边界的流量；θ为时间权重系数，是考虑计算时段起始和终了时刻在其平均值计算中所占的比重。

在时段Δt内，单元体内水量变化是：

水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动

式中，δ_x为单元体长度；A为水流断面面积；Z为单位长度的入渗量；Φ为空间权重系数，是考虑单元体上、下游断面在其平均值计算中所占的权重。

由式（7.24）与式（7.25）相等可得运动波模型的连续性方程：

水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动

式中，δx为计算时段水流推进的距离增量；δt为时间步长；A_l、Q_l、Z_l为时间t_i时刻单元体左边界过水断面面积、流量和对应时刻的入渗量；A_r、Q_r、Z_r为时间t_i时刻单元体右边界过水断面面积、流量和对应时刻的入渗量；A_j、Q_j、Z_j为时间t_i-1时刻单元体左边界过水断面面积、流量和对应时刻的入渗量；A_m、Q_m、Z_m为时间t_i-1时刻单元体右边界过水断面面积、流量和对应时刻的入渗量；Φ为空间权重系数，若上游断面权重系数为Φ，则下游断面权重系数为1-Φ；θ为时间权重系数，若起始时刻t_i-1的权重系数为θ，则终了时刻权重系数为1-θ。

根据前人研究结果，Φ和θ值是一个能够反映隐式差分格式稳定性和灵活性的重要系数，一般取值在0.6～1.0之间为宜。通常取Φ=0.5，θ=0.6。

在编程过程中，初始条件给出了Q_j和Q_l，应用公式：

水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动

就可以相应求得A_j和A_l，同样用上三式把Q_r用A_r表示，则连续方程变为：

水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动

式中：

水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动

式中：≤k＜N-1。

对于推进峰单元，j、m、R的流量Q和水深A均为0，连续方程简化为：

水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动

上式中θ和Φ是流体单元瞬时变化的平均值。

由于A_l能从前边单元中求得，Z_l是时间的独立函数，则未知的δx_N可求出：

水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动

（三）阶段求解过程分析

1.推进阶段

在此阶段，除前面已经分析过的初始条件和边界条件外，由第一时段的左边界用式（7.34）求得δx₁代入式（7.32）、式（7.31）和式（7.30）能求得第一时段的A_r和Q_r，将第一时段的A_r和Q_r作为第二时段第一计算单元的A_m和Q_m，第二时段第二单元的左边界Q_l可由第二时段第一单元已求出的Q_r代替，以此类推，在求得第一时段推进峰单元的基础上，就可逐步求得以后各时段各单元的过水断面面积和流量。在非封堵情况下，推进单元在逐渐增加，在封堵情况下，在田埂处就不再增加单元数目。

2.封堵阶段

畦灌条件下，畦尾不考虑弃水，各计算单元被认为在固定的位置，仍采用矩形单元计算；基本单元的推算方法与推进阶段相似，只是在下游边界处Q_r为0，但有一定的A_r。

3.垂直消退阶段

当水流在入口处被切断，运动波模型假设A_l立即趋于零，尤其是当模型时间段大约1 min时，这是倾斜畦灌情况的一个很好近似，所以运动波模型中可忽略此阶段。

4.水平消退阶段

在非封堵情况下，水平消退过程随着下游的消退，上游也开始退水，而在封堵情况下，消退只能从上游开始消退。