设ab为n阶正定矩阵?
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发布时间：2022-09-06 13:38
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时间：2024-12-03 12:56
①矩阵A，B均为正定矩阵,且AB=BA,证明:AB为正定矩阵!
证明 因为A,B正定, 所以 A^T=A,B^T=B
(必要性) 因为AB正定, 所以 (AB)^T=AB
所以 BA=B^TA^T=(AB)^T=AB.
(充分性) 因为 AB=BA
所以 (AB)^T=B^TA^T=BA=AB
所以 AB 是对称矩阵.
由A,B正定, 存在可逆矩阵P,Q使 A=P^TP,B=Q^TQ.
故 AB = P^TPQ^TQ
而 QABQ^-1=QP^TPQ^T = (PQ)^T(PQ) 正定, 且与AB相似
故 AB 正定.
②若A，B都是正定矩阵，证明A+B也是正定矩阵
证明 因为 A，B都是正定矩阵
所以对任意n维列向量 x≠0, x'Ax>0, x'Bx>0
所以 x'(A+B)x = x'Ax + x'Bx >0
所以 A+B 是正定矩阵.
注: x' = x^T
