清华大学奥数题
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发布时间：2022-09-21 14:34
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时间：2023-09-16 20:22
清华大学奥数题
清华大学奥数题。奥数题可以说是非常深奥的一种数学题目了，有不少奥数题目是用来考查清华学子的。那么接下来就由我带大家详细的了解清华大学奥数题的相关内容。
清华大学奥数题1
题目（5星难度）：
x,y,z是互不相等的正整数，且xyz整除(xy-1)(yz-1)(zx-1)，求满足条件的所有x,y,z。
讲解思路：
这道题属于数论问题，
初中高中很少涉及整除的问题，
这道题目考察的是小学奥数知识。
对于整除的问题，
可以假设存在正整数k，使：
(xy-1)(yz-1)(zx-1)=kxyz，
则可用等式的技巧处理整除关系。
为解题方便不妨设x<y<z，
总的解题思路是：
先判断x的范围，
再根据范围逐个代入尝试，
最后得到满足条件的正整数。
步骤1：
先思考第一个问题，
x的范围是多少？
由于kxyz=(xy-1)(yz-1)(zx-1)
=(xyz)^2-x*(xyz)-y*(xyz)-z*(xyz)
+xy+yz+xz-1,
故xy+yz+xz-1
=(k-xyz+x+y+z)*(xyz),
则xy+yz+xz-1是xyz的正整数倍。
可得xyz不大于xy+yz+xz-1。
由于x<y<z，
故xy<xz<yz。
则有：xyz <= 3yz-1 < 3yz,
因此x<3，即x只能是1或2。
步骤2：
再思考第二个问题，
x可能等于1吗？
在步骤1中我们得到
xy+yz+xz-1
=(k-xyz+x+y+z)*(xyz),
把x=1代入其中有:
y+yz+z-1=(k-yz+1+y+z)*(yz),
即y+z-1=(k-yz+y+z)*(yz)，
故y+z-1是yz的正整数倍，
则yz <= y+z-1 < 2z,
这说明y<2 ,即y=1,
这与x<y矛盾。
因此x不能等于1。
步骤3：
再思考第三个问题，
x可能等于2吗？
类似于步骤2的结论进行计算，
在步骤1中我们得到
xy+yz+xz-1
=(k-xyz+x+y+z)*(xyz),
把x=2代入其中有:
2y+yz+2z-1=(k-yz+2+y+z)*(yz),
即2y+2z-1=(k-yz+1+y+z)*(yz)，
故2y+2z-1是yz的正整数倍，
则yz <= 2y+2z-1 < 4z,
这说明y<4,
由于y>x=2,
故y只能是3,
代入2y+2z-1是yz的正整数倍中，
可得2z+5是3z的正整数倍，
则3z <= 2z+5,
故z <= 5,
注意到 z>y=3，
则z只可能是4或5，
验证可得只有z=5满足条件。
因此满足条件的3个数是2,3,5。
考虑到对称性，
所以原题的答案有6组，
即x,y,z分别是2,3,5的6种排列。
注：这道题如果只想凑出答案不难，
但只凑出答案不能得分，
需要扎实的基本功进行计算，
最后给出严格的过程说明答案。
思考题（3星难度）：
能否把1到15的正整数分为2组，使每组中的任意2个数的和，都不是完全平方数？
清华大学奥数题2
五年级奥数题有哪些
1、甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地要植900棵，B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从A地转到B地？
2、有三块草地，面积分别是5，15，24亩.草地上的草一样厚，而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？
3、某工程，由甲、乙两队承包，2.4天可以完成，需支付1800元；由乙、丙两队承包，3+3/4天可以完成，需支付1500元；由甲、丙两队承包，2+6/7天可以完成，需支付1600元.在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？
4、一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块.现打开水龙头往容器中灌水.3分钟时水面恰好没过长方体的顶面.再过18分钟水已灌满容器.已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体的底面面积和容器底面面积之比.
5、甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购进的套数比甲多1/5，然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售.两人都全部售完后，甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套，甲原来购进这种时装多少套？
6、有甲、乙两根水管，分别同时给A，B两个大小相同的水池注水，在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是7：5.经过2+1/3小时，A，B两池中注入的水之和恰好是一池.这时，甲管注水速度提高25%，乙管的注水速度不变，那么，当甲管注满A池时，乙管再经过多少小时注满B池？
7、小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学书丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有3/10的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校，这样小明比独自步行提早5分钟到校.小明从家到学校全部步行需要多少时间？
8、甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地，A，B两地的距离等于B，C两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟，但在B地停留了7分钟，甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲车迟4分钟到C地.那么乙车出发后几分钟时，甲车就超过乙车.
9、甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务.甲车单独清扫需要10小时，乙车单独清扫需要15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米，问东、西两城相距多少千米？
10、今有重量为3吨的集装箱4个，重量为2.5吨的集装箱5个，重量为1.5吨的集装箱14个，重量为1吨的集装箱7个.那么最少需要用多少辆载重量为4.5吨的汽车可以一次全部运走集装箱？
11.桌上有3只杯子，全部口朝上，每次将其中2只同时"翻转".经过若干次操作之后，能不能将全部杯口都朝下。如果能，至少需要几次?如果不能，为什么?
清华大学奥数题3
小学奥数都有什么题型
据了解，小学奥数题的难度虽然大大超过学生当前所学难度，但是与其所学知识点还是一样的，只是题型更加多变，考核更加深入。我在此总结了小学奥数所有题型，具体包括：消去法、页码问题、还原法、平均数、定义新运算、最大最小值、位置原则、相遇行程、追及行程、火车行程、流水行程、牛吃草、方程、不定方程、假设法、设置法、面积计算、表面积、体积、图形计算、盈亏问题、年龄问题、植树问题、工程问题等，接下来就其中几个题型做一个详细的讲解。
1、植树问题
基本类型有四类，分别是：在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树；在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树；在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树；封闭曲线上植树。
基本公式有六个，分别是：棵数=段数+1；棵距×段数=总长；棵数=段数-1；棵距×段数=总长；棵数=段数；棵距×段数=总长。注意：首先确定所属类型，从而确定棵数与段数的'关系。
2、盈亏问题
基本定义：把一定数量的物品平均分给一定数量的人，由于物品和人数都未知，只已知在两次分配中一次是盈（有余），一次是亏（不足）；或者两次都盈余，或者两次都亏的数量时，求参加分配的物品总量以及人员总数。
基本题型：
（1）一次盈，一次亏；
基本公式：总份数=(余数+不足数）÷两次每份数的差
（2）两次都盈余；
基本公式：总份数=(较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
（3）两次都亏；
基本公式：总份数=(较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
3、牛吃草问题
假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。注意：原草量和新草生长速度是不变的。
基本公式：生长量=（较长时间X长时间牛头数-较短时间X短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；总草量=较长时间X长时间牛头数-较长时间X生长量。
