二次曲线证明题

发布网友发布时间：2022-04-22 09:06

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热心网友时间：2023-07-05 05:37

二次曲线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
你所说的二次曲线的光学性质是指从焦点射出的光，通过抛物线反射，也就是该点切线的反射，会变成平行于抛物线对称轴的光。
下面我给出其详细证明，仅供参考：
抛物线方程，y^2=2px，其焦点为F,准线为L.一条过焦点的弦AB,中点为C.C在L上的射影为M，首先证明以AB为直径的圆和L相切，简言之，即证明AC=MC。
不妨令A，B在L上的射影分别为A',B'，由抛物线定义可知，AC+CB=AB=AF+BF=AA'+BB'=2MC,所以AC=MC=CB，所以∠AMC=∠MAC，过A以x轴正向为方向，作射线AD，然后，语言还是很难表达清楚，此射线是FA的反射光线，而它与直线MA的夹角等于∠AMC=∠MAC，所直线AF和射线AD关于MA的法线对称，它又和直线MA只有A一个交点，所以，MA是切线，证明MB是切线同理
还有几条性质，抛物线上任一点到焦点的距离等于该点到准线的距离.
另外，有人将二次曲线的性质总结为六个字，我觉得挺好记住的:两垂直两相切
先构造一个模型:过抛物线焦点F任作一条直线交抛物线于A,B两点,分别过A,B作抛物线准线的垂线交准线于C,D.记AB的中点为O1,CD的中点为O2.
则有:AO2⊥BO2,CF⊥DF
圆O1切CD于O2,圆O2切AB于F