高二数学 函数 导数

发布网友 发布时间：2022-04-22 09:17

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热心网友 时间：2024-03-07 04:11

(1) 
a = 1, b = 0, f(x) =[ln(1 - x)]/(x - 1)
定义域x < 1
f'(x) = {[ln(1 - x)]'(x - 1) - [ln(1 - x)](x - 1)'}/(x - 1)² = [1 - ln(1 - x)]/(x - 1)²f'(x) = 0, 1 - ln(1 - x) = 0, 1 - x = e, x = 1 - e
x < 1 - e, f'(x) < 0, 减函数
1 - e < x < 1, f'(x) > 0， 增函数
最小值f(1-e) = ln(1 - 1 + e)/(1 - e - 1) = -1/e


(2) 
b = 1, f(x) = [ln(a - x)]/(x - a) - x, 定义域x < a
f'(x) =  {[ln(a - x)]'(x - a) - [ln(a - x)](x - a)'}/(x - a)&#178;  - 1= [1 - ln(a - x)]/(x - a)² - 1
f'(x) = 0, 1 - ln(a - x) = (a - x)²
为了方便起见，不妨令t = a - x > 0, 1 - lnt = t²
左边为单调减函数, 右边为单调增函数，只有一个交点，容易看出t = 1是其唯一解: a - x = 1
x = a - 1
x < a - 1, f'(x)<0, 减函数。 不妨想像x是个绝对值很大的负数, ln(a - x)为很大的正数, 1 - ln(a - x) < 0, (x - a)&#178; > 0, -1 < 0, f'(x) < 0; 而且f'(x) = 0仅有一个解, 其左侧只能同号。
a - 1 < x < a: f'(x) > 0, 增函数. 
图中红线为a = 2时的f(x), 黑线为x = 1 (a - 1)

(3)
不要追问，稍后继续。
此时f(x) = [ln(3 - x)]/(x - 3) + x
(x - 3)f(x) = c, ln(3 - x) + x(x - 3) = c
g(x) = ln(3 - x) + x(x - 3) - c, 定义域x < 3
g'(x) = 1/(x - x) + 2x - 3 = (x - 2)(2x - 5)/(x - 3) = 0
x < 3, 分子总小于0
x < 2, 分子为正, g'(x) < 0
2 < x < 5/2, 分子为负, g'(x) > 0
5/2 < x < 3: 分子为正, g'(x) < 0
g(2) = -2-c为最小值
g(5/2) = -ln2 - 5/4 - c为最大值
要使其在[1, 21/8]有三个不等的实根，需同时满足如下条件：
(i) g(1) = ln2 - 2 - c ≥ 0, c ≤ ln2 - 2
(ii) g(2) = -2 - c < 0, c > -2
(iii) g(5/2) = -ln2 - 5/4 - c > 0, c < -ln2 - 5/4
(iv) g(21/8) = ln(3/8) - 63/64 - c ≤ 0, c ≥ ln(3/8) - 63/64 
对照下图，设想将蓝线上下平移，就容易理解了。

见上图的各线，结果是 ln(3/8) - 63/64 ≤ c < -ln2 - 5/4

热心网友 时间：2024-03-07 04:12

热心网友 时间：2024-03-07 04:12

第一问。第二问等一下

热心网友 时间：2024-03-07 04:13

如图