许宝騄的统计分析工作

发布网友发布时间：2022-06-13 20:01

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安德森在纪念许宝騄的一文中，一开始就写道：
“从1938年到1945年，许所发表的论文处于多元分析数学理论发展的前沿。……1945年后，他在哥伦比亚大学和北卡罗莱纳大学讲授多元分析，在那里他培养学生从事这一领域的研究。如同一个有高度素养的数学家那样，许推进了矩阵论在统计理论中的作用，同时也证明了有关矩阵的一些新的定理。”
这一段话对许的工作给出了明确的评价，也阐明了其研究工作的特色。多元统计分析中，相当于一元统计中x2分布的是正态总体样本协差阵的分布。维希特在1928年导出这一分布时，用的是几何方法，证明中依赖于一些直觉的结论。这一工作被认为是多元分析历史的开始。如果能给出一个严格而清晰的证明，这在理论上是重要的。许宝騄解决了这一困难，他把矩阵演算融合于分析的积分计算之中，给出了一个漂亮的证明，得到了一个一般性的积分公式：当n≥p≥1时，有
使用这一公式，只需在左端用正态密度及样本协差阵的函数代替函数f（．），右端就给出样本协差阵函数的期望值，从而导出相应的分布。这一公式现已称为许氏公式。从这个公式很方便导出著名的巴特莱脱（Bartlett）分解。
多元统计分析中不少统计量都是与随机矩阵的特征根相联系的。30年代末，著名的统计学家费歇，劳（Roy），格尔希克等，都在寻求正态总体样本协差阵特征根的联合分布，许宝騄也参与了这一竞争，他们几乎同时都获得了预期的结果，各人的方法不同，以许宝騄的分析方法最漂亮，他用矩阵微分这一工具，严格而清晰地导出了联合分布。20年后，安德森在他的书中，专列一章，详细介绍这一工作，并说明这些复杂的雅可比行列式的计算主要是许宝騄的功绩。后来，他在北卡罗莱纳大学讲课时使这一方法更为系统，技巧也更成熟。1951年，由当时听课的学生第默尔和奥肯根据笔记整理发表在《Biometrika》上。
许宝騄在学术研究上，一直是知难而进，积极参与重大问题的探讨，他力求问题的彻底解决。例如非中心维希特分布的随机矩阵W的全部特征根，它们的联合分布是很困难的，从大样理论来看，求得渐近分布就可处理实际问题，而极限情况依赖于总体的协差阵Σ和非中心参数阵φ，这些特征根的联合分布仅依赖于|φ－λΣ|=0的这些相对特征根λ1≥…≥λp≥0，这些λi可以是0，又可以是重根，他完美地处理了最一般的情况，这就充分显示了他在数学上的功力。
他不仅自己在多元分析方面有很多开创性的工作，他还培养了像安德森、奥肯等国际上多元分析学术带头人，所以许宝騄被公认为多元统计分析的奠基人之一。许宝騄的像片悬挂在斯坦福大学统计系的走廊上，与世界著名的统计学家并列。