地图投影
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发布时间：2022-03-31 08:42
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时间：2022-03-31 10:11
（一）地图投影概念
地球椭球面是一个曲面，而地图是一个平面，将地球上的各种地理事物与现象表示到平面上，需要采取一系列数学变换，才能使地面上的点与平面上的相应点建立起对应关系，从而才有可能反映出它们的位置、距离、方向、面积、形状及数量大小关系。地图之所以能在平面上反映出球面上事物与现象的空间准确位置和相互关系，就是由于它经过了地图投影的转换。
地图投影的科学定义是：地图投影就是研究解决把地球椭球体面上的经纬网按照一定的数学法则转绘到平面上的方法及其变形的科学问题。
对于较小区域范围，可以视地表为平面，这样就可以认为投影没有变形；所测得的一系列地面点所构成的图形，可以直接按相似的方法缩绘在平面上。但测区范围较大时，就不能把地球表面当作平面了，必须要采用适当的投影方法解决这个问题。到目前为止，有近260种地图投影类型，归纳起来，不外乎是几何透视法或数学解析法两大类。
1.几何透视法
几何透视法是以平面、圆柱面和圆锥面为承影面，将曲面（地球椭球面）转绘到平面（地图）上的一种古老方法。这种直观的透视投影方法所能实现的投影类型较少，因而具有很大的局限性。
2.数学解析法
数学解析法是建立地球椭球体面上的经纬线网与平面上相应经纬网之间对应关系的最科学的方法。其实质就是确定球面上某点的地理坐标（B，L）与平面上对应点的直角坐标（x，y）之间的函数关系。
（二）地图投影的变形
地图投影的变形性质具体可分为以下3个方面。
1.长度变形
长度变形是地面上实际长度按主比例尺缩小后与图上相应长度之差。长度比是投影面上一微小线段和椭球体面上相应线段长度之比。
2.面积变形
面积变形是地面上实际面积按主比例尺缩小后与图上相应面积之差。面积比是投影面上一微小面积与椭球面上相应的面积之比。
3.角度、形状变形
角度变形是投影后平面上任意两方向线夹角与椭球面上相应两方向线夹角之差。形状变形是地图上物体轮廓形状与相应地面物体轮廓形状的不相类似。
（三）高斯投影
地形测量中通常采用高斯投影。
高斯投影是一种横轴等角椭圆柱投影，又称横轴墨卡托投影（Transverse Mercator），如图1-3所示。它是正形投影（保角映射）的一种。这种投影保持图上任意两个方向的夹角与实地相应的角度相等，在小范围内保持图上形状与实地相似。
图1-3 高斯投影示意图
此投影由德国科学家高斯（Gauss，1777～1855年）在1825～1830年首先建立其理论并推导出计算公式的，后经克吕格补充完善，所以称高斯—克吕格投影。通常简称高斯投影。
该投影从几何意义上来看，就是设想用一个横椭圆柱，见图1-3a，套在地球体外面，并与地球体面上某一条子午线相切，这条子午线称为*子午线（或*经线）。按其等角投影条件，将*经线东西两侧各一定范围内的经纬线投影到椭圆柱面上。然后将圆柱面沿其母线切开，展成平面，即得到平面上的经纬线网格，如图1-3b所示，这个平面称为高斯—克吕格投影平面，简称高斯投影平面。
高斯投影中，虽然能使球面图形的角度和平面图形的角度保持不变，但任意两点间的长度，却产生变形（投影在平面上的长度大于球面长度），称为投影长度变形。
1.高斯投影的特性
1）投影带*经线NOS和赤道投影后为互相垂直的直线，其余各经、纬线的投影为曲线，并且以赤道为轴，南北对称；以*经线为轴，东西对称。
2）经纬线投影后，仍然保持互相垂直的关系，即投影具有等角性质，投影无角度变形。
3）*经线投影后保持长度不变。该投影*子午线没有任何变形，除此线上长度比为1外，其他任何点长度比大于1，离*经线愈远，变形愈大，在同一条经线上，长度变形随纬度的减小而增大。
2.高斯投影分带与编号
为了将长度变化*在测图精度允许的范围内，采用缩小投影区域的分带投影法。高斯投影分带是从首子午线（格林尼治零度经线）开始，按经差6°为一带，自西向东将整个地球划分成经差相等的60个投影带，如图1-4所示。
图1-4 6°和3°投影带的划分
投影带的编号依次为1，2，3，…，60，每个投影带的中间一条子午线称为*子午线，其经度为6°n-3（n为投影带编号）。6°带投影，其边缘部分的变形能满足1：25000或更小比例尺测图的精度，当进行1：10000或更大比例尺测图或精密工程测量时，要求投影变形更小，则应采用3°分带投影或1.5°分带投影。
3°带分带法从东经1°30′算起，每3°为一带。投影带编号为1，2，3，…，120，投影带的*子午线的经度为3°n（n为3°带的编号）。这样分带的方法3°带的*子午线一部分与6°带的*子午线重合，一部分与6°带的分界子午线重合，如图1-4所示。
我国领土跨越11个6°投影带，即第13带至第23带。
在工程测量中，为了使长度变形小，有时采用任意带，即*子午线选择在测区*，带宽一般为1.5°。
（四）高斯平面直角坐标系统
有了高斯投影平面后，怎样建立平面直角坐标系呢？如图1-5所示，测量上以每一带的*子午线的投影为直角坐标系的纵轴X，向上（北）为正、向下（南）为负；以赤道的投影为直角坐标系的横轴Y，向东为正、向西为负，两轴的交点O为坐标原点。由此得到点的坐标通常称为高斯投影的自然坐标。由于我国领土全部位于赤道以北，因此，X值均为正值，而Y值则有正有负，为了使计算中避免Y值出现负值，故规定每带的*子午线各自西移500km，在图1-5a与图1-5b中可以看出A，B两点的坐标值是不同的。纵坐标轴西移了500km后，其横坐标值则是
YA＝500km＋yA
YB＝500km＋yB
图1-5 高斯平面直角坐标系
由于我国幅员辽阔，东西横跨11个6°带，而各带又独自构成直角坐标系，这样就容易引起带与带之间点位的混淆和错乱。因此，为了说明某点位于某带，规定在横坐标值前面要加上带号，以示区别。这样的坐标称为通用坐标。对于X坐标则没有自然坐标与通用坐标之区别。
例，设A，B点均位于第20带，其自然坐标yA＝＋189672.8m，yB＝-105374.8m
则其通用坐标为
yA＝500000m＋189672.8m＝20689672.8m
yB＝500000m＋（-105374.8m）＝20394625.2m
采用高斯直角坐标来表示地面上某点的位置时，需要通过比较复杂的数学（投影）计算才能求得该地面点在高斯投影平面上的坐标值。高斯直角坐标系一般都用于大面积的测区。
