f''(x)>=0，证明0<=t<=1，有f[(1-t)x1+tx2]<=(1-t)f(x1)+tf(x2)，

发布网友发布时间：2022-12-03 02:21

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热心网友时间：2023-11-13 16:12

不妨设x1<x2,x1<(1-t)x1+tx2<x2
原不等式等价于f[(1-t)x1+tx2]-f(x1)<=t[f(x2)-f(x1)]
根据拉格朗日中值定理存在x1<c<(1-t)x1+tx2
t(x2-x1)f'©=f[(1-t)x1+tx2]-f(x1)
只须证(x2-x1)f'©<=f(x2)-f(x1)
再用一次中值定理，存在x1<d<x2
f'(d)=[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)
f'©<=f'(d),存在c<e<d
f''(e)=[f'(d)-f'©]/(d-c)>0
最后一次成立，证毕

热心网友时间：2023-11-13 16:12

取点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴，连接AB，作直线L x=(1-t)x1+tx2，交AB,x轴于C1，C2，直线AB在点x=(1-t)x1+tx2的函数值为y=(1-t)f(x1)+tf(x2)(这个是个几何问题，很好算的，自己作图算下吧)，曲线函数值为f[(1-t)x1+tx2]，由于f''(x)>=0，说明函数f(x)是凹函数，则必有y≥f[(1-t)x1+tx2]

f&#39;&#39;(x)&gt;=0，证明0&lt;=t&lt;=1，有f[(1-t)x1+tx2]&lt;=(1-t)f(x1)+tf(x2)，

f''(x)>=0，证明0<=t<=1，有f[(1-t)x1+tx2]<=(1-t)f(x1)+tf(x2)，