芝诺悖论“阿咯琉斯追龟辩”用微积分的思想可以解吗?怎么解?

发布网友发布时间：2022-11-03 01:54

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热心网友时间：2023-10-26 20:05

老问题了。这个问题似乎与量子无关。

可以，不过不是微积分的思想，是极限的思想（因为微积分处理的是连续的问题，这里则是离散的）。
在数学上这就是个无穷级数的问题。

“阿喀琉斯追不上乌龟”的结论，论证前提是无穷段时间相加，或者无穷段路程相加，必定是达不到的。也就是说所谓芝诺悖论就是认为无穷个数相加应该是无穷大。
然而我们知道，无穷段时间相加可以是收敛的，也就是可以做到无穷个正数相加的结果仍然是有限数。幸运的是，在芝诺悖论中的情形就是如此：各段时间（或者路程）在这里成一个等比数列，它们的无穷和是收敛的。
关于等比级数的结果，早在古希腊时候就有了。在微积分创立后，则在数学分析的背景下有了更加形式化的表达。在十九世纪数学分析基础严密化后，这样的级数问题就可以说是“天衣无缝”了。

不过，再深入一点，或者说更本质一点，要彻底解决芝诺悖论，实际上还要首先承认“无穷”的存在。或者说，承认“无穷”是可以达到的。
这个无穷，不是画一根直线，想象它要多长就可以延长多长，有些无限延长的“潜力”——这个叫“潜无穷”。这里必须要承认的，叫“实无穷”，即必须承认无穷作为一个整体的存在性。比如圆周率写成十进制小数有无穷多位数，但这无穷多位数合在一起才表示一个完整的数。
承认实无穷是一个哲学命题，早在古希腊时候就有人讨论了，如大名鼎鼎的欧几里德就不承认实无穷的存在，只承认潜无穷。后世的人也不断讨论，这个问题在康托时基本得到完满的解决，康托承认实无穷的存在，并给出了无穷的各种性质——这些事就发生在十九世纪末到二十世纪初。
需要指出的是，现代数学的框架是建立在承认实无穷的基础之上的，没有实无穷，我们甚至连实数也不能谈。而这个问题现在应该说是没有争论了的，“阿喀琉斯追不上乌龟”是个错误的论断，“芝诺悖论”已经消除。