己知圆过点A(1,4)B(3,-2),且圆到直线AB的距离为根号下10，求这个圆的方程
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发布时间：2022-11-19 21:24
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时间：2023-10-05 10:43
∵圆过点A(1,4)B(3,-2),
∴(1-a)²+(4-b)²=r²
(3-a)²+(-2-b)²=r²
圆心到直线AB的距离为根号下10
即弦心距为d=√10
又|AB|=√[(3-1)²+(-2-4)²]=2√10
设圆半径为r，根据勾股定理
r²=d²+(|AB|/2)²=10+10=20
∴(1-a)²+(4-b)²=20
(3-a)²+(-2-b)²=20
解得
∴b=a+1, a²-4a-5=0
{a=5,b=6
或｛a=-1,b=0
∴(x-5)²+(y-6)²=20
或(x+1)²+y²=20
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时间：2023-10-05 10:43
半径r²=(√40/2)²+(√10)²=20
AB中点C：(2,1)
kAB=(-2-4)/(3-1)=-3
圆心(a,b)所在的直线方程：y-1=1/3(x-2) y=x/3+1/3
b=a/3+1/3
AB方程：(y-4)/(x-1)=(-2-4)/(3-1) y-4=-3x+3 3x+y-7=0
圆心到直线AB的距离为根号下10
|3a+b-7|/√(3²+1²)=√10
|3a+b-7|=10
|3a+a/3+1/3|=10
|10a/3+1/3|=10
10a/3+1/3=±10
10a=-1±30
a1=-3.1 a2=2.9
b1=-3.1/3+1/3=-0.7 b2=2.9/3+1/3=1.3
圆方程：(x+3.1)²+(y+0.7)²=20 或者 (x-2.9)²+(y-1.3)²=20
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时间：2023-10-05 10:44
解：
既然所求圆过A(1,4),B(3,-2),设⊙O是所求圆
∴AB是⊙O的弦
LAB：x-1/3-1=y-4/-2-4
化简：LAB：3x+y-7=0
AB中点(2，1)
求AB的垂直平分线所在直线方程：x-3y+1=0
设O(x，x+1/3)
O到B的距离等于半径r=√(x-1)²+(x-11/3)²
这样，r与AB半弦长和O到AB的距离可以构成直角三角形
求出x=+1或-1，可以求出O点坐标
∴可求得圆的方程为：（x-5）^2+（y-2）^2=20 或 （x+1）^2+（y）^2=20
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时间：2023-10-05 10:44
设圆心坐标为：O（m,n）则：求AB的解析式LAB=-3x+7，
d=根号10=︱3m+n-7︱/根号（3平方+1平方）
得到：3m+n-7=±10........(1)
再利用OA=OB,可得：（m-1）平方+（n-4）平方=（m-3）平方+（n+2）平方
m-3n=-1.........................(2)
（1）（2）联立，易得，m,n,再将之代入，即可得圆的方程。
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时间：2023-10-05 10:45
