怎样学好一次函数??
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发布时间：2022-04-23 06:34
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时间：2023-07-20 20:58
学好一次函数需掌握一定的学习方法，例如理解一次函数和其它知识的联系、掌握一次函数的解析式的特征、应用一次函数解决实际问题、数形结合等，下面是详解。
（一）、理解一次函数和其它知识的联系
一次函数和代数式以及方程有着密不可分的联系。如一次函数和正比例函数仍然是函数，同时，等号的两边又都是代数式。需要注意的是，与一般代数式有很大区别。首先，一次函数和正比例函数都只能存在两个变量，而代数式可以是多个变量；其次，一次函数中的变量指数只能是1，而代数式中变量指数还可以是1以外的数。另外，一次函数解析式也可以理解为二元一次方程。
（二）、掌握一次函数的解析式的特征
一次函数解析式的结构特征：kx＋b是关于x的一次二项式，其中常数b可以是任意实数，一次项系数k必须是非零数，k≠0，因为当k = 0时，y = b(b是常数)，由于没有一次项，这样的函数不是一次函数；而当b = 0，k≠0，y = kx既是正比例函数，也是一次函数。
（三）、应用一次函数解决实际问题
1、分清哪些是已知量，哪些是未知量，尤其要弄清哪两种量是相关联的量，且其中一种量因另一种量的变化而变化；
2、找出具有相关联的两种量的等量关系之后，明确哪种量是另一种量的函数；
3、在实际问题中，一般存在着三种量，如距离、时间、速度等等，在这三种量中，当且仅当其中一种量时间(或速度)不变时，距离与速度(或时间)才成正比例，也就是说，距离(s)是时间(t)或速度( )的正比例函数；
4、求一次函数与正比例函数的关系式，一般采取待定系数法。
（四）数形结合
方程，不等式，不等式组，方程组我们都可以用一次函数的观点来理解。一元一次不等式实际上就看两条直线上下方的关系，求出端点后可以很容易把握解集，至于一元一次方程可以把左右两边看为两条直线来认识，直线交点的横坐标就是方程的解，至于二元一次方程组就是对应2条直线，方程组的解就是直线的交点，结合图形可以认识两直线的位置关系也可以把握交点个数。
如果一个交点时候两条直线的k不同，如果无穷个交点就是k,b都一样，如果平行无交点就是k相同，b不一样。至于函数平移的问题可以化归为对应点平移。k反正不变然后用待定系数法得到平移后的方程。这就是化一般为特殊的解题方法。
扩展资料
学习方法
一、知识要点
1、要理解函数的意义。
2、联系实际对函数图像的理解。
3、随图象理解数字的变化而变化。
二、误区提醒
1、对一次函数概念理解有误，漏掉一次项系数不为0这一*条件；
2、对一次函数图像和性质存在思维误区；
3、忽略一次函数自变量取值范围；（有时x∈Z，其图象表现为非连续性的点的集合）
4.对于一次函数中，把自变量认为不能等于零。
三、和方程的异同
1、一次函数和一元一次方程有相似的表达形式。
2、一次函数表示的是一对（x，y）之间的关系，它有无数对解；一元一次方程表示的是未知数x的值，最多只有1个值。
3、一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根。
四、和不等式关系
从函数的角度看，解不等式的方法就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围的一个过程；
从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。
对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为（-b/k，0）。
当k>0时，不等式kx+b>0的解为：x>-b/k，不等式kx+b<0的解为：x<-b/k；
当k<0的解为：不等式kx+b>0的解为：x<-b/k，不等式kx+b<0的解为：x>-b/k。
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时间：2023-07-20 20:58
学一次函数主要要掌握以下几点：
1.
一次函数（linear function），也作线性函数，在x,y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。
2.
【解释】函数的基本概念：在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，在y中都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
定义了函数的概念，接下来我们来介绍函数的一种特殊情况——一次函数。
表达式为y=kx+b（k≠0，k、b均为常数）的函数，叫做y是x的一次函数。当b=0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。当常数项为零时的一次函数，可表示为y=kx（k≠0），这时的常数k也叫比例系数。（也叫正比例函数）
y关于自变量x的一次函数有如下关系：
1.y=kx+b （k为任意不为0的常数，b为任意实数）
当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。
x为自变量，y为函数值，k为常数，y是x的一次函数。
特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx （k为常量，但k≠0）正比例函数图像经过原点。
定义域：自变量x的取值范围。自变量的取值一要使函数有意义；二要与实际相符合。
常用的表示方法：解析法、图像法、列表法。
3.函数性质 1．当k>0时，y的变化值随x的变化值增大而增大，反之，y的变化值随x的变化值减小而减小，当k<0时，y的变化值随x的变化值增大而减小，反之，y的变化值随x的变化值减小而增大。
在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大 km，反之，当x减少m时，函数值y则减少 km。
2．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)。
3．当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。
4．在两个一次函数表达式中：
当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；
当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；
当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；
当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。
4.
图像性质 1．作法：通过如下3个步骤：
（1）列表；取满足一次函数表达式的两个点的坐标。
（2）描点；一般取两个点，根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。
一般地，y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点即可画出。
正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点画出即可。
（3）连线。一次函数的图象是一条直线，因此，作一次函数的图象只需知道两个点，并作出直线即可。（通常取函数图象与x轴、y轴的两交点（0，b）和（-b/k，0））。
2．性质：
（1）在一次函数图像上的任取一点P（x，y），则都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总交于（-b/k，0）。正比例函数的图像都经过原点。
3．k，b决定函数图像的位置：
y=kx时，y与x成正比例：
当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。
y=kx+b时：
当 k>0，b>0， 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；
当 k>0，b<0，这时此函数的图象经过第一、三、四象限；
当 k<0，b>0，这时此函数的图象经过第一、二、四象限；
当 k<0，b<0，这时此函数的图象经过第二、三、四象限。
当b>0时，直线必通过第一、二象限；
当b<0时，直线必通过第三、四象限。
特别地，当b=0时，直线经过原点O（0，0）。
这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。
4、特殊位置关系：
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；
当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）。
5、一次函数的解析式：
①点斜式：y-y1=k(x-x1)（k为直线斜率，(x1，y1)为该直线所过的一个点）；
②两点式：(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y2）两点），
③截距式：x/a+y/b=1 （a、b分别为直线在x、y轴上的截距）。
解析式表达的局限性：
①所需条件较多（2个点，因为使用待定系数法需要列一个二元一次方程组）；
②、③不能表达没有斜率的直线（即垂直于x轴的直线；注意“没有斜率的直线平行于y轴”表述不准，因为x=0与y轴重合）；
④不能表达平行于坐标轴的直线和过原点的直线。
5.
一、一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。
二、用画函数图象的方法解不等式
对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为（-b/k，0）。
当k>0时，不等式kx+b>0的解为：x>- bk，不等式kx+b<0的解为：x<- bk；
当k0的解为：x<- bk，不等式kx+b- bk。
6.一次函数的应用 一、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
合实际。
二、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
求可以反映实际问题的函数
三、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
7.常用公式 1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/2
3.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/2
4.求任意线段的长：√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 ]
5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]
7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (若分母为0，则分子为0)
x y
+， +（正，正）在第一象限
- ，+ （负，正）在第二象限
- ，- （负，负）在第三象限
+ ，- （正，负）在第四象限
8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2，则k1=k2，b1≠b2
9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，则k1×k2=-1
10.
y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
口诀：右减左加（对于y=kx+b来说，只改变n）
y=kx+b+n就是向上平移n个单位
y=kx+b-n就是向下平移n个单位
口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）
11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)
生活中的应用
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）
数学问题
一、确定字母系数的取值范围
例1 已知正比例函数 ，则当k——0时，y随x的增大而减小。
解：根据正比例函数的定义和性质，得 k<0。
二、比较x值或y值的大小
例2. 已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ）
A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.无法确定
解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。
故选A。
三、判断函数图象的位置
例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0，从而b<0。
故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A
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时间：2023-07-20 20:59
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时间：2023-07-20 20:59
1、掌握概念
一般地，函数y=kx＋b（k≠0， k，b都是常数）叫做一次函数. 它的定义域是R. 由于它的图象是一条直线，所以又叫线性函数. 这时也说x与y成线性关系.
特别地，当b=0时，一次函数y=kx又叫正比例函数. 这时也说x与y成正比例关系，其中k叫比例系数. 正比例函数的图象是一条过原点的直线.
2、理解并牢记图象和性质
掌握系数的变化所引起的图象位置的变化。注意用图象记忆性质，用数形结合法解题。
3、掌握“三个一”的关系
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系。（一叶知秋，由此可推广到“三个二”的关系，甚至一般函数与方程、不等式的关系）
4、会解一次型函数问题
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时间：2023-07-20 21:00
们只要把握原点和（1，k)就可以了。k 大于 0 过一三象限，k 小于 0 过二四象限。 y=kx+b 要把握两个特殊的点就是与坐标轴交点。 当 （0， b)(-b/k,0)通过 k 与 b 的正负结合图形可以很清楚判断过哪 3 个象限. 还有会利用两点式求出解析式再用解析式研究图像。 接下来说下数形结合。方程，不等式，不等式组，方程组我们都 可以用一次函数的观点来理解。 一元一次不等式实际上就看两条直线 上下方的关系，求出端点后可以很容易把握解集，至于一元一次方程 可以把左右两边看为两条直线来认识， 直线交点的横坐标就是方程的 解，至于二元一次方程组就是对应 2 条直线，方程组的解就是直线的 交点，结合图形可以认识两直线的位置关系也可以把握交点个数。如 果一个交点时候两条直线的 k 不同， 如果无穷个交点就是 k,b 都一样， 如果平行无交点就是 k 相同，b 不一样。至于函数平移的问题可以化 归为对应点平移。k 反正不变然后用待定系数法得到平移后的方程。 这就是化一般为特殊的解题方法。 最后说下一次函数的应用题。 函数有三要素， 定义域值域解析式。 我们考虑函数问题的时候首先就要考虑定义域， 很多应用题是分段函 数，那么我们就要求出各个线段和射线的解析式并指出 x 的取值范 围，很多时候就要注意考虑结合一元一次不等式组。一般要使得问题 有意义如油箱余下油的问题要注意时间，和余下的油非负，如三角形 问题注意边长非负还有就是两短边和大于长边。 还有使用原料问题原 料不能比总数多等。在考虑问题的时候还要注意如何写每段的解析 式。有的题是给出图写解析式，有的是解析式与图结合。看图特别要
注意起点，折点。一般我们可以从代数角度认识求解析式比如的士付 费问题，也可以找图形上用两点式求。但我们把握了实际问题的 k, 就是对应单价，速度，工效，那个每多少的东西就好办了。这样求解 析式会轻松些,这就要我们仔细体会均匀变化这句话了。这样才能很 好把握 k，这对数形结合要求就比较高了。实际上有心的孩子在用二 元一次方程组求解析式的时候就能体会这句话的深意。 还有个问题提下就是给出三个整点求面积的问题只要往坐标轴 上作垂线转化为直角梯形解决问题就可以了。这就是陌生问题熟悉 化。 还有一类题 y=(3m-2)x+(2m-3)一定过第几象限。 一般孩子是分类 讨论对 k,b 还要考虑不是一次函数的情况。分类要细致。我们处理此 类问题可以变换主元把 m 当未知数得到 y=(3x+2)m-(2x+3) 如果过 定点 m 的系数为 0 得到 x=-2/3 此时 y=-5/3 就知道一定过三象限这就 可以避免讨论。还有的题说某直线不过第四象限。并不能习惯认为过 1,2,3 象限还要考虑正比例函数以及不是一次函数的情况。这需要我 们思维的细腻和严谨，同时需要培养逆向思维的能力。很多一次函数 问题会结合一元一次不等式组的。比如含有参数的方程。先把 xy 当 未知数其它字母当已知数求出解再解不等式组。 这几个部分都是一次 函数应用的难点，希望大家注意。
总之要学好函数要以运动观点看问题，再就是要很好把握函数 图象。一条直线的问题只要把握了与坐标轴交点就好办了，至于正比
例函数就把握原点和（1，k)就可以了。处理一次函数问题还要善于 带入解决问题，它是代数的深化，也是学习二次函数，解析几何的基 础一定要学好。要适应教材的要求不能被淘汰。再就是注重概念的理 解，理解好 k,b 相信大家能学好一次函数。
