辗转相除法是什么,怎么用

发布网友发布时间：2022-12-06 05:01

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热心网友时间：2024-10-18 01:10

辗转相除法
辗转相除法, 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法, 其可追溯至前300年。它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。它并不需要把二数作质因子分解。

[编辑] 算法

辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的：

1. 若 r 是 a ÷ b 的余数, 则

*(a,b) = *(b,r)

2. a 和其倍数之最大公因子为 a。

另一种写法是：

1. a ÷ b，令r为所得余数（0≤r＜b）

若 r = 0，算法结束；b 即为答案。

2. 互换：置 a←b，b←r，并返回第一步。

[编辑] 虚拟码

这个算法可以用递归写成如下:

function *(a, b) {
if (a 不整除 b)
return *(b, a mod b);
else
return a;
}

或纯使用循环:

function *(a, b) {
define r as integer;
while b ≠ 0 {
r := a mod b;
a := b;
b := r;
}
return a;
}

其中“a mod b”是指取 a ÷ b 的余数。

例如，123456 和 7890 的最大公因子是 6, 这可由下列步骤看出：
a b a mod b
123456 7890 5106
7890 5106 2784
5106 2784 2322
2784 2322 462
2322 462 12
462 12 6
12 6 0

只要可计算余数都可用辗转相除法来求最大公因子。这包括多项式、复整数及所有欧几里德定义域（Euclidean domain）。

辗转相除法的运算速度为 O(n2)，其中 n 为输入数值的位数

热心网友时间：2024-10-18 01:10

求两个整数的最大公约数时，a和b的公约数等于b和a－b的公约数，那么就通过相减把大整数的最大公约数转化成为小整数的最大公约数，直到两个数互质为止。因为这个方法需要两个数来回相减，所以称为辗转相除法

热心网友时间：2024-10-18 01:11

<1> 用辗转相除法(欧几里德法)求m,n最大公约数
算法描述:
m用n求余为a, 若a不等于0
则 m = n, n = a, 继续求余
否则(即若a为0) n 为最大公约数