统计学(5)-几个常用分布

发布网友发布时间：2022-10-13 06:19

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热心网友时间：2023-10-31 08:28

除正态分布之外，我们还经常会遇到其他一些比较常见的分布，如t检验对应的t(T)分布, χ2检验对应的χ2(X)分布、方差分析对应的F(F)分布等。（我会用大写字母简写一系列的分布）

其实在很长一段时间内，很多现象都可以用正态分布来描述！然而当样本量较小的时候，就不合适了。因此T分布应运而生。
T分布与标准正态分布的不同：

X分布与标准正态分布有直接关系，对于一个服从标准正态分布的随机变量Z, 它的平方服从自由度为1的X分布。（这个随机变量的意思，怎样理解比较好呢？目前没有深层次的理解）
举个例子：
在标准正态分布中，与双侧0.05 面积对应的Z 值是1.96; 而在X分布中，与0 . 05 面积对应的X值是3.84, 也就是1.96 的平方。换句话说，对于自由度为1 的X分布，X值是标准正态分布中相应Z值的平方。
下图显示了自由度为1时的X分布。为什么形状看起来这么奇怪呢？

可以想象一下，首先，既然X值是Z值的平方，那肯定没有负数；其次，标准正态分布中多数值集中在0附近（在士1之间占68.2%), 那么，平方后应该约有68.2% 的数小于1, 约有95.4% 的数小于4 。所以就形成了图3.24 这种形状。
X分布与T分布相同，也是一簇分布。
X分布只有一个参数，即自由度，也就是说，其形状随着自由度的变化而变化，每一个自由度对应一个X分布形状。总的来说，X分布呈偏态分布；但随着自由度的增加，其偏度逐渐减小；当自由度趋于无穷时，X分布趋于正态分布。
如下图所示：

正态分布和T分布主要与均数的分布有关，在推论总体均数的时候比较有用；而F分布是与方差有关的分布，可用于分析两个方差是否相等、方差是否等于某一具体值等。
假定从两个方差相等的正态总体中随机抽取样本量为n1和n2的样本，这两个样本的标准差分别为s1和s2, 则F=s1(2)/s2(2) 服从自由度1= n1 - 1 和自由度2= n2- 1 的F 分布。
也就是说，F分布是方差比的分布。F分布有两个参数，分别为自由度1 (分子的自由度）和自由度2 (分母的自由度），随着两个自由度的不同， F 分布有不同的形状。下图显示了F 分布随着两个自由度的改变而变化的规律：