随机过程的基本概念

发布网友 发布时间：2022-04-23 03:02

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热心网友 时间：2023-05-28 22:08

在客观世界中有些随机现象表示的是事物随机变化的过程，不能用随机变量或随机矢量来描述，而需要用一族无限多个随机变量来描绘，这就是随机过程。

图1.14

随机变量是指在同一条件下，事件每次发生的结果是随机的、不确定的，而随机过程是指在同样条件下，事物发生的某一过程是随机的、不可准确预知的。一个过程可能是由无限多个随机变量构成，而随机过程是由一族过程（随机出现的）构成的。如对某一个钻孔的水位进行连续观测，以 H₀（t）来表示水位，在第一个水文年观测到的水位曲线为 H₁（t），…，在第 n 个水文年里观测到的水位为H_n（t），每个水文年里所得到的样本曲线都是随机的（图 1.14）。{H（t），t∈（0，∞）}，怎样理解为由一族随机变量构成的呢?我们固定某一观测时间 t₀，考察 H（t）在每年 t₀时刻的水位值 H₁（t₀），H₂（t₀），…，H_n（t₀），显然H（t₀）是一个随机变量，而当 t 变化时，H（t）是一族随机变量。因此，H（t）是一个随机过程。

同样的道理，一个地区大气降水的过程，某条河流的流量或河水位变化过程都可看成是一个随机过程。由此可见，设{X（t），t∈T}为一随机过程，一次过程的观测可以视为随机过程的一个样本函数 X₁（t），第 i 次过程的观测可视为随机过程的第i 个样本函数X_i（t）。n次试验观测的结果可得样本函数X₁（t），X₂（t），…，X_n（t）。对于随机过程 X（t），当 t 固定时，为一个随机变量，即随机过程在 t 时刻的状态。随机变量 X（t），t∈T（t 固定）的所有可能取的值构成一个实数集，称为随机过程的状态空间或值域，而每一个可能取的值称为一个状态。

随机过程可根据参数集T和状态空间的情况进行分类，一般地随机过程可分为下列四类：

（1）离散参数、离散状态随机过程。

（2）离散参数、连续状态随机过程。

（3）连续参数、离散状态随机过程。

（4）连续参数、连续状态随机过程。

1.3.1 有限维分布族

随机过程{X（t），t∈T}在每一时刻 t 的状态是一维随机变量，在任意两个时刻的状态是二维随机变量。随机过程的统计特征可用其不同固定时刻的不同维随机变量（矢量）的分布的全体来表示。

对任意固定的t∈T，

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称为随机过程X（t）在t时刻的一维分布函数。

对于任意两个固定的t₁，t₂∈T

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称为随机过程X（t）的二维分布函数。

一般地，对于任意固定的t₁，t₂，…，t_n∈T，

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称为随机过程X（t）的n维分布函数。

随机过程X（t）的一维分布函数，二维分布函数，…，n维分布函数的全体称为随机过程的有限维分布函数族。

1.3.2 随机过程的数字特征

随机过程的数字特征是通过随机过程的有限维分布函数的数字特征来刻画，由于随机过程{X（t），t∈T}在每一个 t∈T 的状态是一个随机变量，有其对应的数字特征。随 t 的不同取值，随机变量的数字特征是可以不同的，它的数学期望和方差是依赖于参数 t 的函数，我们称这一函数为随机过程的数字特征。设随机过程 X（t）t∈T 的数学期望用m_X（t）表示，则有：

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式中：F（x，t）——随机过程的一维分布函数。

若F（x，t）为连续函数，则有：

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式中：f（x，t）——一维分布密度函数。

如图1.15所示，当样本曲线数增加到一定数量后，m_X（t）基本为一条固定曲线，而样本曲线围绕其上下波动。

设随机过程X（t）t∈T的方差用D_X（t）表示，则有：

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而σX（t）=称为随机过程的标准差。

随机过程的方差也是过程t的函数，它反映了每一个样本曲线对均值曲线m_X（t）的偏离程度。

在分析实际工程问题时，随机过程的均方值具有物理意义，随机过程的均方值用ΨX（t）表示，则有：

图1.15

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从而有：

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随机过程的均值函数和方差函数只考虑了随机过程在任一时刻状态的数字特征，但对随机过程在不同时刻状态之间的相关关系的分析，必须有随机过程协方差函数和相关函数的概念。

随机过程X（t）在任意两个时刻t₁，t₂∈T，X（t₁）和X（t₂）是两个随机变量，它们之间线性联系的密切程度可用相关函数：

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描绘。

X（t₁）与X（t₂）的协方差称为随机过程X（t）的（自）协方差函数，记为C_X（t₁，t₂），即：

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如果两个随机过程的方差相同，可以用协方差函数绝对值的大小比较两个过程在时刻t₁，t₂状态的线性联系密切程度。如图1.16（a）和（b）所示的两个随机过程的数学期望和方差相同，但（a）过程在不同时刻的线性联系程度要小于（b）过程。

协方差函数还可以表示为：

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相关函数可以表示为：

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随机过程X（t）的协方差函数和相关函数的关系为：

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图1.16

当随机过程的m_X（t）=0时，

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当t₁=t₂时，

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不难看出，数学期望和相关函数是随机过程两个最基本的数字特征，协方差函数和方差可从它们中获得。

在众多类型的随机过程中，正态（随机）过程（高斯过程）在工程中十分常见，也十分重要和有用。

如果随机过程{X（t），t∈T}的有限维概率分布是一维或*正态分布：即对 n≥1，任意的 t₁，t₂，…，t_n∈T，有：

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式中：x=（x₁，x₂，…，x_n）^T

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则称X（t）是正态（随机）过程或Gauss过程。

1.3.3 两个随机过程的联合分布

在工程技术中，经常需要同时考虑两个或两个以上随机过程的统计特性，如对于一个地下水系统而言，大气降水的补给量P（t）是一个随机过程，对应的地下水系统响应（如泉流量或水位动态）也是一个随机过程。我们经常要研究地下水系统输入随机过程与响应（输出）随机过程之间的关系，从而涉及研究两个随机过程的情形。

设 X（t），Y（t）（t∈T）是两个随机过程，则称{（X（t），Y（t）}^T，t∈T}为二维随机过程。

对于任意的m≥1，有t₁，t₂，…，t_m∈T，t₁′，t₂′，…，t_n′∈T，作m+n维随机矢量（X（t₁），X（t₂），…，X（t_m））的联合分布函数：

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称为二维随机过程（X（t），Y（t））^T的m+n维（联合）分布函数。

对于随机过程X（t），Y（t），t∈T，固定t₁，t₂∈T，则：

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为随机过程X（t），Y（t）的互相关函数。