已知α、β是一元二次方程x^2+x-1=0的两个根,求2α^5+5β^3的值【高 ...

发布网友发布时间：2022-10-19 16:41

共3个回答

热心网友时间：2024-06-25 00:07

解：
将α带入方程得：
α²+α-1=0，即α²+α=1
∴α³+α²=α，α^4+α³=a²，α^5+α^4=α³
由以上四个式子可得：
α^5=5α-3
同理可以求出：
β^3=2β-1
∴2α^5+5β^3=2（5α-3）+5（2β-1）
=10（α+β）-11
由韦达定理得：
α+β=-1
∴2α^5+5β^3=10*（-1）-11=-21
补充：韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程ax²+bx+c=0中,两根x1,x2有如下关系: x1+ x2=-b/a ， x1·x2=c/a.
望采纳！！

热心网友时间：2024-06-25 00:09

因为α，β分别是方程x^2＋x-1=0的根，所以α^2+α-1=0，β^2+β-1=0，
即α^2=1-α，β^2=1-β。
α^5=(α^2)^2•α=(1-α)^2α=(α^2-2α+1)α=(1-α-2α+1)α=-3α^2+2α=-3(1-α)+2α=5α-3，
β^3=β^2•β=(1-β)β=β-β^2=β-(1-β)=2β-1。
所以2α^5+5β^3=2(5α-3)+5(2β-1)=10(α+β)-11
因为α+β=-1
所以2α^5+5β^3=-21。

热心网友时间：2024-06-25 00:09

x=b
则b²+b-1=0
b²=-b+1
b³=b(b²)
=-b²+b
=-(-b+1)+b
=2b-1

同理a²=-a+1
a^4=a²-2a+1=-a+1-2a+1=-3a+2
a^5=a(-3a+2)
=-3a²+2a
=-3(-a+1)+2a
=5a-3

a+b=-1
所以原式=10a-6+10b-5
=10(a+b)-11
=-10-11
=-21