函数y=(e^x-e^-x)/2的反函数的单调区间和单调性。

发布网友发布时间：2022-06-01 02:56

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热心网友时间：2023-11-17 02:06

首先要确定的是，这个函数是复合函数！
外函数y=(1/2)^t
内函数t=√（-x
x
2）
根据复合函数“同增异减”的性质（如果外函数和内函数单调性相同，则这整个函数在定义域内单调递增，反之则递减）：
由于外函数y=(1/2)^t单调递减，所以为了使整个函数单调递增，所以，内函数t=√（-x
x
2）也要单调递减，首先，内函数带根号，先要满足-x
x
2>=0，即-1<=x<=2,然后-x^2
x
2对称轴为直线x=1/2，又二次项系数为负，所以开口向下，递减部分在对称轴左边，即x<1/2,又前面有-1<=x<=2,的前提，
综上所述，-1<=x<1/2时，函数单调递增

热心网友时间：2023-11-17 02:07

由于e^x和-e^(-x)都是
增函数
。
所以，y=(e^x-e^-x)/2是增函数。
由
反函数
和
单调函数
的定义可知，y=(e^x-e^-x)/2的反函数也单调递增。
下面求反函数：
y=(e^x-e^-x)/2
e^x-e^-x=2y
(1)
(1)^2得：e^(2x)-e^(-2x)-2=4y^2
e^(2x)+e^(-2x)+2=4y^2+4
(e^x+e^-x)^2=4y^2+4
因为e^x+e^-x>0，所以e^x+e^-x=2√(y^2+1)
(2)
(1)+(2)得：2e^x=2y+2√(y^2+1)
e^x=y+√(y^2+1)
x=ln[y+√(y^2+1)]
所以，所求反函数为：y=ln[x+√(x^2+1)]。