分部积分法的四种典型模式
发布网友
发布时间：2022-07-23 07:37
共1个回答
热心网友
时间：2023-11-25 01:22
一般地，从要求的积分式中将 凑成 是容易的，但通常有原则可依，也就是说不当的分部变换不仅不会使被积分式得到精简，而且可能会更麻烦。分部积分法最重要之处就在于准确地选取 ，因为一旦 确定，则公式中右边第二项 中的 也随之确定，但为了使式子得到精简，如何选取 则要依 的复杂程度决定，也就是说，选取的 一定要使 比之前的形式更简单或更有利于求得积分。依照经验，可以得到下面四种典型的模式。 通过对 求微分后， 中的 比 更加简洁，而 与 的类型相似或复杂程度相当。
例如，对于形如 的不定积分（其中 为 次多项式），由于对多项式求微分可以降次，且三角函数或指函数的积分则较容易求得，所以可以令 ，而将另一个函数看成 通过分部求得积分。
例如 求
首先，
对该式第二项再按此模式进行分部积分，得
故原式 通过对 求微分使得它的类型与 的类型相同或相近，然后将它们作为一个统一的函数来处理。例如对形如 等的积分，总是令 ，则 则为一个 次的多项式，另一个函数（ 等）看成 。通过分部积分，很容易求出不定积分。
例如，求
而该式第二项为
故原积分式 利用有些函数经一次或二次求微分后不变的性质，通过一次或二次分布积分后，使等式右端再次产生 ，只要它的系数不为1，就可以利用解方程的方法求出原积分 。
例如，对于积分 和
按法则对他们进行分部积分得
这样，所求积分均由另一个积分所表示出来，将这两式相加和相减（即解方程）得到所求积分表达式
以及
这两个通用表达式就可以求出该类型的所有积分式，比如 对某些形如 的不定积分，利用分部积分可降低 的次数，求得递推公式，然后再次利用递推公式，求出
例如，对于积分
当 时，
当 时，
而该式的第二项又可变换为
将其带入上式，则得到
故
最后，得到统一的递推关系式
